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数学题已知曲线c:x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10

2009-11-14 12:44:25小***
已知曲线c:x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.（1）求这些圆的圆心轨迹方程;（2）求证曲线C过定点并求定点坐标，（3）若曲线C与x轴相切，求k的值数学题已知曲线c:x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.（1）求这些圆的圆心轨迹方程;（2）求证曲线C过定点并求定点坐标，（?

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  • （1）已知x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0，变型 （x+k)^2+(y+2k+5)^2=5k^2+10k+5...........① 得圆心坐标为（-k,-2k-5) 所以这些圆的圆心轨迹方程为y=2x-5 (2)观察①式，若有定点满足①，那么就有①式左右两边二次项，一次项，常数项的系数相等（关于k). 二次项，其系数皆为5 一次项，有2x+4y+20=10 常数项，有x^2+y^2+10y+25=5 解得x=1,y=-3 所以该定点的坐标为（1，-3） (3)因为曲线C与x轴相切，所以由①知5k^2+10k+5=（-2k-5)^2 解得k1=5+3√5，k2=5-3√5
    2009-11-14 13:55:53
  • x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0, k(2x+4y+10)+x^2+y^2+10y+20=0. {2x+4y+10=0, {y^2+10y+20=0 ,x=1,y=-3. 当x=1,y=-3时,x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,中k为任意值都成立,即曲线C过定点(1,-3) . 相切,方程组 {x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0 {y=0, 仅有一组解. x^2+2kx+10k+20=0,判别式=4k^2-4(10k+20)=0 k^2-10k-20=0 ,k=5+3*根5, 或k=5-3*根5 (x-k)^2+(y+2k+5)^2=R^2,圆心x=k,y=-2k-5, 2x+y+5=0 就是圆心轨迹方程.
    2009-11-14 12:59:13
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