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如图在边长为1的正三角形ABC中如图，在边长为1的正三角形ABC

2011-02-18 10:07:59圆***
如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，向量AE=m向量AB,向量AF=n向量AC,m,n属于[0，1]。设EF的中点为M，BC的中点为N。 [1]，若AMN三点共线，求证；m=n。 [2]，若m+n=1，求向量MN的绝对值的最小值。 如图在边长为1的正三角形ABC中如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，向量AE=m向量AB,向量AF=n向量AC,m,n属于[0，1?

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  • 向量AE=m向量AB,向量AF=n向量AC, EF的中点为M， 则向量AM=0.5(向量AE+向量AF)=0.5(m向量AB+n向量AC), 而BC的中点为N， 则向量AN=0.5(向量AB+向量AC), 因为AMN三点共线， 则向量AM=t向量AN,即m向量AB+n向量AC=t(向量AB+向量AC), 所以m=n 向量MN=向量MA+向量AN=-0.5(m向量AB+n向量AC)+0.5(向量AB+向量AC)=0.5[(1-m)向量AB+(1-n)向量AC], 而m+n=1，则向量MN=0.5[(1-m)向量AB+m向量AC], 所以|向量MN|^2=0.25[(1-m)^2+m^2+m(1-m)] =0.25*(m^2-m+1) =0.25*(m-0.5)^2+0.25*0.75 即当m=0.5时，向量MN的绝对值的最小值为(根号3/4)
    2011-02-18 13:48:18
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