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椭圆的问题已知椭圆长轴点A，B，弦EF与AB交于点D，O为椭圆的

2006-03-21 18:46:48问***
已知椭圆长轴点A，B，弦EF与AB交于点D，O为椭圆的中心，且向量|OD|=1， 2向量DE+向量DF=零向量，角FDO=45度 （1）求椭圆长轴的取值范围 （2）若D为椭圆的焦点，求椭圆的方程 椭圆的问题已知椭圆长轴点A，B，弦EF与AB交于点D，O为椭圆的中心，且向量|OD|=1，2向量DE+向量DF=零向量，角FDO=45度（1）求椭圆长轴的取值范?

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  •   （1）不失一般性，设椭圆的长轴在X轴，为：x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 ① D（1，0） E(X1,Y1) F(X2,Y2) ∵2向量DE+向量DF=零向量 ∴ 2Y1 +Y2 =0 ∵∠FDO=45度，不失一般性,设直线EF为：y = x - 1 ② 把②代入①，得(b^2+a^2)y^2 + 2b^2y + b^2 - a^2*b^2=0 ∴Y1 +Y2 = (-2b^2)/(b^2+a^2) = - Y1 ③ Y1*Y2 =（ b^2 - a^2*b^2)/(b^2+a^2) = - 2Y1^2 ④ △= 4b^4 - 4 *(b^2+a^2)*（b^2 - a^2*b^2） ∵-2*③*③ = ④ （b^2+a^2)*（b^2 - a^2*b^2） = - 8b^4 ⑤ 把 ⑤代入， △=36b^4 ＞0 ∵（b^2+a^2)＞0，- 8b^4＜0 ∴b^2 - a^2*b^2 ＜0 ∴a^2 ＞ 1 ∴ a＞1 (2)因为D是焦点∴a^2 = b^2 + 1 代入 ⑤中，∴ b^2 = 7/2 a^2 = 9/2 ∴椭圆方程为：2*x^2/9 + 2*y^2/7 =1 或2*x^2/7 + 2*y^2/9 =1 。
      
    2006-03-23 17:09:46
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