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求∫<0，+∞>e^(-x^2)dx

2006-04-23 00:50:54翠***
求∫<0，+∞>e^(-x^2)dx求∫0，+∞e^(-x^2)dx：要计算∫e^(-x^2)dx 可以通过计算二重积分:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy. ?

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  •   要计算∫e^(-x^2)dx 可以通过计算二重积分:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy。 那个D表示是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域。 下面计算这个二重积分: 解:在极坐标系中,闭区域D可表示为:0≤r≤a,0≤θ≤2π ∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)*rdrdθ =∫[∫e^(-r^2)*rdr]dθ =-(1/2)e^(-a^2)∫dθ =π(1-e^(-a^2)) 下面计算∫e^(-x^2)dx ; 设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}。
       D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}。 S={(x。y)|0≤x≤R,0≤y≤R}。 可以画出D1,D2,S的图。 显然D1包含于S包含于D2。由于e^(-x^2-y^2)>0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式: ∫∫e^(-x^2-y^2)dxdye^(-x^2-y^2)dxdye^(-x^2-y^2)dxdy。
       ∵∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫e^(-x^2)dx*=∫e^(-y^2)dy =(∫e^(-x^2)dx)^2。 又应用上面得到的结果:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-a^2)) ∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-R^2))。
       ∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2R^2))。 于是上面的不等式可写成: (π/4)(1-e^(-R^2))e^(-x^2)dx)^2e^(-x^2)dx =sqrt(π)/2。 其中:sqrt(π)表示根号π。
      
    2006-04-23 03:38:15
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