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高中数学函数问题:已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna,a

2009-04-15 16:18:25阿***
已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna, a>1. 若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值. 请帮助详细分析并解答.谢谢.高中数学函数问题:已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna,a1.若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值.请帮助详细分析并解答.谢谢.：已?

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  •   已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna, a>1。 若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值。 请帮助详细分析并解答。谢谢。 函数y=|f(x)-t|-1=0，得到：|f(x)-t|=1 所以：f(x)-t=±1 即：f(x)=t+1，或者f(x)=t-1………………………………（1） 而，函数f(x)=a^x+x^2-xlna 则：f'(x)=lna*a^x+2x-lna=lna*(a^x-1)+2x 因为：a＞1，所以：lna＞0 那么： 当x＞0时，a^x＞1，则：f'(x)＞0，函数f(x)单调递增 当x＜0时，a^x＜1，则：f'(x)＜0，函数f(x)单调递减 所以，函数f(x)在x=0处有最小值=f(0)=1 现，已知函数f(x)的图像与直线t+1和t-1有三个交点（即方程有三个零点），那么： 因为：t+1＞t-1 所以，若t-1＞1，即t＞2，则由f(x)的图像性质可以知道： f(x)与直线t-1有两个交点，同时f(x)与t+1也有两个交点，那么上述方程就有4个交点，不符合题意。
       若t-1＜1，即t＜2，则f(x)与直线t-1没有交点，此时f(x)最多只能是与直线t+1有两个（或者1个）交点。
       所以： t-1=1，即t=2时，f(x)与直线t-1=1仅有一个交点（即f(x)的最小值处），与直线t+1=3有两个交点（分别位于y轴的左右两侧），这样就一共有三个交点 综上： t=2 （y=f(x)与直线y=t-1、y=t+1的示意图草图如下）。
    2009-04-16 00:48:03
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