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已知椭圆c过a-数学问题已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a大于b

2010-03-17 18:00:51h***
已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a大于b大于0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称三角形F1BF2为椭圆C的特征三角形。如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比 1）已知椭圆C1：x^2/4+y^2=1和C2：x^2/16+y^2/4=1,判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似，请说明理由 2）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数|MN|=f(b)的解析式和定义域 【已知椭圆c过a】数学问题已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a大于b大于0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称三角形F1BF2为椭圆C的特征三角形。如果两个?

最佳回答

  •   1）对于C1:a1=2,b1=1,c1=√3。F1F2=2c1,BF1=BF2=a1。 对于C2:a2=4,b2=2,c2=2√3。F1F2=2c2,BF1=BF2=a2。 ∴两个三角形的三边对应成比例，C2与C1的相似比为a2/a1=2。
       2)设与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程为 x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1(b>0)。（1） 若它有两点M,N关于l:y=x+1对称，则M,N在直线 y=-x+m（2） 上，把（2）代入（1），化简得5x^2-8mx+4m^2-4b^2=0,(3) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=8m/5。
       MN的中点（4m/5,m/5)在l上， ∴m/5=4m/5+1,m=-5/3。 方程（3）变为45x^2+120x+100-36b^2=0, △=120^2-180(100-36b^2)=720（9b^2-5）, f(b)=|MN|=(√△）/45*√[1+(-1)^2] =(4/15）√（90b^2-50), 由△>=0，b>0得b>=(√5）/3。
       ∴f(b)的定义域是[(√5)/3,+∞）。
    2010-03-18 12:26:41
  • 对本题有兴趣说两句： 据题意，这样定义的“特征三角形”可以用比值b/c来描述。 而b/c=[√(a^2-c^2)]/c=√(1/e^2-1)其中e是椭圆的离心率。 所以所谓【两个椭圆相似】也其实就是【两个椭圆的离心率相等】。再或者就是【两个椭圆的长短轴之比值相等】。
    2010-03-18 12:46:39
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