百科知识

教育/科学

不定积分分子分母都是多项式不定积分，分子分母都是多项式，但是分母

2013-01-13 22:36:40S***
不定积分，分子分母都是多项式，但是分母不能因式分解的题目，例子如下：比如说，∫（-2x2-2x-1）/（x3+2）dx，像这样的分子分母都是多项式，但是分母次数比分子次数大的情况下是怎么解决的？望高手指教。不定积分分子分母都是多项式不定积分，分子分母都是多项式，但是分母不能因式分解的题目，例子如下：比如说，∫（-2x2-2x-1）/（x3+2）dx，像这样的分子分?

最佳回答

  •   你的问题提得很好，但是例子举错了。本问题中的这个分母可以在实数范围内可以因式分解： x^3+2=[x+2^(1/3)]*[x^2-x*2^(1/3)+2^(2/3)] 被积函数分解成的部分分式为a/[x+2^(1/3)]+(px+q)/[x^2-x*2^(1/3)+2^(2/3)]。
       如果你将分母x^3+2换成x^5+x+1，就是一个值得高等数学老师认真解释的很精彩的问题。 高等数学里对有理函数不定积分要求的特点是：分母在实数范围内可以“实施”因式分解成(x-a)^n，(x^2+px+q)^m（p^2＜4q)的因式。
       分母次数比分子次数大的情况下，先将分母因式分解，再分解被积函数为“部分分式”。 虽然高等代数告诉我们【任何次数大于2的实系数多项式在实数范围内都是可以因式分解】的！ 但是“可以”分解与能够“实施”分解，是两回事！一个是“理论”上的概念，一个是“操作”上的方法。
       这个问题与【cos(x^2)的虽然“可积”但是“积不出来”】是一样的，“可积”是“理论”上的概念，“积不出来”是求初等函数原函数的“操作”。 因为众所周知，根据伽罗华定理，不低于5次的实系数多项式【并不总可以】用【代数数】来【实施】实数范围内的因式分解的。
       例如：x^5+x+1在理论上可以在实数范围内可以因式分解，但是不可以用代数数来实施实数范围内的因式分解。 如果有理函数不定积分的被积函数的分母不能在代数数范围内实施分解成(x-a)^n，(x^2+px+q)^m（p^2＜4q)的因式，这就不是高等数学的教学要求了【实际上不是数学专业数学分析里研究的一般形式】。
       除非它有某些其它特点，可以不用分解被积函数为“部分分式”来求解，而这不是有理函数不定积分的基本方法了。 最后再重复一遍：你的问题提得很好，值得高等数学老师认真讲解。。。但是你的例子举错了。
    2013-01-14 00:06:58
  • 任何次数大于2的多项式在实数范围内都是可以因式分解的！ 例如：x^3+2=x^3+(2^(1/3))^3,可以利用公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 还有：x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1)^2-(√2x)^2,可以利用公式a^2-b^2=(a+b)(a-b).....
    2013-01-13 22:53:44
    • 很赞哦！ (40)

    相关文章