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SOS!!!!!在线等高中数学椭圆问题中心在原点，一焦点

2009-12-09 22:29:39飞***
中心在原点，一焦点为F(0,5倍根号2）的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2，求此椭圆的标准方程。SOS!!!!!在线等……高中数学椭圆问题……中心在原点，一焦点为F(0,5倍根号2）的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2，求此椭圆的标准方程?

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  •   中心在原点，一焦点为F(0,5倍根号2）的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2，求此椭圆的标准方程。
       已知椭圆的中心在原点，且焦点F(0,5√2)在y轴上 所以，设其标准方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1（a＞b＞0） 即：a^2x^2+b^2y^2-a^2b^2=0 由焦点坐标得到，c^2=a^2-b^2=(5√2)^2=50………………（1） 联立椭圆与直线的方程，得到： a^2x^2+b^2y^2-a^2b^2=0 y=3x-2 所以：a^2x^2+b^2(3x-2)^2-a^2b^2=0 ===> a^2x^2+b^2(9x^2-12x+4)-a^2b^2=0 ===> a^2x^2+9b^2x^2-12b^2x+4b^2-a^2b^2=0 ===> (a^2+9b^2)x^2-12b^2x+4b^2-a^2b^2=0 所以：x1+x2=12b^2/(a^2+9b^2) 已知弦的中点的横坐标为1/2，即(x1+x2)/2=1/2 所以，x1+x2=1 ===> 12b^2/(a^2+9b^2)=1 ===> a^2+9b^2=12b^2 ===> a^2=3b^2………………………………………………（2） 联立(1)(2)得到： a^2=75 b^2=25 所以，椭圆的标准方程为：x^2/25+y^2/75=1。
    2009-12-09 23:08:57
  • 可用简单方法求解: 设椭圆标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1; 同时设弦两端点为(m,3m-2),(n,3n-2)(其中m、n不相等) 弦中点横坐标为1/2, 故依中点公式有m+n=1 以两端点坐标分别代入椭圆得两式,相减得 (m+n)(m-n)/b^2+[3(m+n)-4]*3(m-n)/a^2=0 1/b^2-3/a^2=0 (1) 而a^2-b^2=c^2 a^2-b^2=(5根2)^2 (2) 由(1)、(2)得a^2=75,b^2=25. 故椭圆标准方程为: x^2/25+y^2/75=1。
    2009-12-10 00:29:48
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