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设x^2+2y^2=2的上顶点为B,右焦点为F,直线L与椭圆相交?

2011-10-20 12:38:25s***
F为△BMN的垂心?若存在,求出直线L的方程;若不存在,请说明理由.设x^2+2y^2=2的上顶点为B,右焦点为F,直线L与椭圆相交于M、N两点,是否存在直线L,使得F为△BMN的垂心?若存在,求出直线L的方程;若不存在,请说明?

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  • 易知点B(0,1)、F(1,0), 设l：y=x+b，M(x1,y1)、N(x2,y2)， ∵NF⊥BM， ∴向量NF·向量BM =(1-x2)x1-y2(y1-1) =x1+y2-x1x2-y1y2 =x1+x2+b-x1x2-(x1+b)(x2+b) =(1-b)(x1+x2)-2x1x2+b(1-b) =0 ① {x2+2y2=2，y=x+b} ↔3x2+4bx+2b2-2=0 依韦达定理，得 x1+x2=-4b/3，x1x2=(2b2-2)/3 代入①得， (1-b)(-4b/3)-(4b2-4)/3+(b-b2)=0 ↔b=1或b=-4/3. 当b=1时，B即为l与椭圆交故，不能构成三角形，舍. ∴l为: y=x-(4/3) 即3x-3y-4=0。
    2011-10-27 22:06:48
  •   解:易知点B的坐标是(0,1),F的坐标是(1,0)。直线BF的斜率是 (0-1)/(1-0)=-1 设直线l符合题意,则l⊥BF,因此l的斜率是 -1/-1=1。 设l的方程是y=x+t,再设M、N的坐标分别是 M(a,a+t),N(b,b+t)。
       由于点M、N在椭圆上,因此a、b是以下方程的两根: x^2+2(x+t)^2=2 化简得 3x^2+4tx+2t^2-2=0 ① 因此 a+b=-4t/3 ② ab=(2t^2-2)/3 ③ 易知 向量BM=(a,a+t-1)。
       向量FN=(b-1,b+t)。 由题意得BM⊥FN,因此向量BM和FN的内积为0,即 a(b-1)+(a+t-1)(b+t)=0。 化简得 ab-a+ab+at+bt+t^2-b-t=0 2ab+(t-1)(a+b)+t^2-t=0 ④ 将②、③式代入④式得 2(2t^2-2)/3+(t-1)(-4t/3)+t^2-t=0 3t^2+t-4=0 (t-1)(3t+4)=0 因此t=1或-4/3。
       若t=1,则直线l过B点,这明显不合题意。 若t=-4/3,则直线l不过B点,且此时方程①为 3x^2-16x/3+14/9=0 27x^2-48x+14=0 该方程中的判别式为 △=48×48-4×27×14>0 因此t=-4/3符合题意。
       综上所述,存在符合题意的直线l,其方程为 y=x-4/3。
    2011-10-20 17:07:15
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