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三角不等式在面积为S的三角形ABC中，证明：a^+b^2+c^2

2012-05-25 13:33:589***
在面积为S的三角形ABC中， 证明：a^+b^2+c^2>=(4根号3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2三角不等式在面积为S的三角形ABC中，证明：a^+b^2+c^2=(4根号3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2：a^+b^2+c^2>?

最佳回答

  •   a^+b^2+c^2>=(4√3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 2ab+2ac+2bc -(a^2+b^2+c^2) >=(4√3)S a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c) >=(4√3)S。
       设 x=b+c-a, y=a+c-b,z=b+a-c。 则 a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c) >=(4√3)S 1/2[x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)] >= √(3[xyz(x+y+z)]) xy+yz+xz >= √(3[xyz(x+y+z)]) (xy+yz+xz)^2 >= 3xyz(x+y+z) (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2-x^2yz–y^2xz–z^2 xy >= 0 1/2[(xy-yz)^2 + (yz-xz)^2 + (xz-xy)^2] >= 0, 但这是显然的。
       。
    2012-05-26 00:01:30
  • 设a>=b>=c。令m=a-b，n=b-c。 则a=c+m+n,b=c+n。代入原方程，有 (c+m+n)^2+(c+n)^2+c^2=1。 3c^2+2(m+2n)c+(m^2+2mn+2n^2)=1 (c+(m+2n)/3)^2+(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9=1/3 所以必有(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9<=1/3 两边同时乘以9，展开：3m^2+6mn+6n^2-m^2-4mn-4n^2<=3 m^2+mn+n^2<=3/2 由此可见m,n不可能同时大于2分之根号2.也就是说m,n中必有一个<=2分之根号2 命题得证
    2012-05-25 14:04:46
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