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几何：求体积，证明如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠AB

2012-07-07 16:01:071***
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=2，BC=CC1=4，D是AA1的中点。 （1）求四棱锥B1-A1C1CD的体积， （2）求证：B1D⊥平面BCD。 几何：求体积，证明如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=2，BC=CC1=4，D是AA1的中点。（1）求四棱锥B1-A1C1CD的体积?

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  •   1。 如图，过点B1作A1C1的垂线，垂足为E 已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4 所以，由勾股定理得到：AC=2√5 已知ABC-A1B1C1为直三棱柱 所以，△A1B1C1≌△ABC 则由△A1B1C1的面积有：S△A1B1C1=(1/2)A1B1*B1C1=(1/2)A1C1*B1E ===> 2*4=2√5*B1E ===> B1E=(4/5)√5 因为ABC-A1B1C1为直三棱柱 所以，AA1⊥面A1B1C1 所以，AA1⊥B1E 又，B1E⊥A1C1 所以，B1E⊥面A1C1CD 即，B1E为四棱锥B1-A1C1CD的高 因为DA1⊥面A1B1C1，CC1⊥面A1B1C1 所以，四边形A1C1CD为直角梯形 所以，S四边形A1C1CD=(A1D+C1C)*A1C1/2=[(2+4)*2√5]/2=6√5 所以，四棱锥B1-A1C1CD的体积 V=(1/3)S*B1E=(1/2)*(6√5)*(4/5)√5=12。
       2。
       因为BB1⊥面ABC 所以，BB1⊥BC 而BC⊥AB 所以，BC⊥面AA1B1B 所以，BC⊥B1D…………………………………………（1） 已知AD为AA1中点，AA1=CC1=4 所以，AD=A1D=2 由勾股定理有：BD=B1D=2√2 所以，BD^2+B1D^2=BB1^2=16 所以，BD⊥B1D…………………………………………（2） 由(1)(2)知，B1D⊥面BCD。
    2012-07-07 17:54:04
  •   (1) 作B1E⊥A1C1于E, ∵ 面A1B1C1⊥面A1C1CD, ∴ B1E⊥面A1C1CD, B1E=A1B1×B1C1/A1C1=4/√5。S(A1C1CD)=(4×2)÷2×2√5=6√5 四棱锥B1-A1C1CD的体积=(1/3)×6√5×4/√5=8。
       (2) AB=AD=2,AB⊥AD,∴ BD²=8=B1D²,BB1²=16,BD²+B1D²=BB1², ∴ B1D⊥BD。。。。。。①。 B1C²=B1C1²+CC1²=32,CD²=AC²+AD²=24, CD²=BC²+BD²=16+8=24, ∴ CD²+B1D²=32=B1C², ∴ B1D⊥CD。
      。。。。。② 由①,②知B1D⊥平面BCD。
    2012-07-07 17:51:33
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