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已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足对于任意的实数x，y?

2013-02-22 22:15:09u***
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足对于任意的实数x，y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y），且当0<x<1,f(x)>0,f(3)=-1/2 (1）求f（1），f（根号3）f（1/根号27） (2)证明f（1/x）=-f（x） (3)证明f（x）为减函数 (4)若a>0，且对于任意的x∈（0，+∞），都有f（ax）-f（1+x^2）>1恒成立，求实数a的取值范围 注意第四问“若a>0，且对于任意的x∈（0，+∞），都有f（ax）-f（1+x^2）>1恒成立”已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足对于任意的实数x，y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y），且当0x1,f(x)0?

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  •   解：（1）当x=1,y=3 代入f(xy)=f(x)+f(y)得：f(3)=f(1)+f(3) ∴f(1)=0 当x=y=√3,代入f(xy)=f(x)+f(y)得：f(√3×√3)=f(√3)+f(√3) 即2f(√3)=f(3)=-1/2 ∴f(√3)=-1/4 （2）令y=1/x,得f(x)+f(1/x)=f(1)=0, ∴f(1/x)=-f(x)。
       令y=x,得2f(x)=f(x^2), 同理，n∈N+时nf(x)=f(x^n), 2f(√27）=f(27)=3f(3)=-3/2, ∴f(√27)=-3/4, ∴f(1/√27）=3/4。 （3）设00, ∴f(x1)=f(x2×x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)>f(x2), ∴f（x）为减函数。
       （4）∵f(9)=f(3)+f(3)=-1, ∴f(1/9)=1, 且：1+x^2>0 f（ax）-f（1+x^2）>1,变为f(ax)>f(9)+f(1+x^2)=f[(1+x^2)/9] ∵f(x)是减函数， ∴ax<(1+x^2)/9, a<(1/x+x)/9,对于任意的x∈（0，+∞）恒成立， ∴0   。
    2013-02-22 23:30:01
  • 细桶，不让我发解答，是不公平的！
    2013-02-23 15:51:57
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