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一道高二椭圆的问题椭圆x^2/25+y^2/9=1上不同的三点A

2007-01-20 18:18:24紫***
椭圆x^2/25+y^2/9=1上不同的三点A(x1,y1),B(4,y2),C(x3,y3)到它的右焦点F的距离构成等差数列. (1)求证:x1+x3=8; (2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T,求直线BT的斜率 一道高二椭圆的问题椭圆x^2/25+y^2/9=1上不同的三点A(x1,y1),B(4,y2),C(x3,y3)到它的右焦点F的距离构成等差数列.(1)求证:x?

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  •   1。椭圆的准线为l:25/4 设三点到右准线的距离分别是d1,d2,d3, 到右焦点F的距离分别是l1,l2,l3 d1=25/4-x1 d2=25/4-x2 d3=25/4-x3 因为l1/d1=l2/d2=l3/d3=e(离心率) 又因为到右焦点F的距离构成等差数列 即l1,l2,l3构成等差数列 所以d1,d2,d3也构成等差数列 所以2(25/4-x2)=25/4-x1+25/4-x3 经过计算可得x1+x3=8。
       2。
      AC的中点坐标为(4,(y1+y3)/2) 因为AC的斜率为(y1-y3)/(x1-x3) 所以AC的垂直平分线的斜率为-(x1-x3)/(y1-y3) 所以可以设线段AC的垂直平分线的方程为 y=[-(x1-x3)/(y1-y3)]x+d(d为未知数) 因为过(4,(y1+y3)/2) 所以可以算出d=(y1+y3)/2+4(x1-x3)/(y1-y3) 所以AC的垂直平分线与x轴的交点为T((y1^2-y3^2)/2(x1-x3)+4,0) B(4,y2)已知 所以直线BT的斜率为(0-y2)/[(y1^2-y3^2)/2(x1-x3)+4-4] =-2y2(x1-x3)/(y1^2-y3^2)。
    2007-01-20 19:33:22
  • 解：a=5 b=3 c=4 e=c/a=4/5 A点到右准线距离AM=a＾/c-x1 B点到右准线距离BN=a＾/c-x2 C点到右准线距离CH=a＾/c-x3 AF/AM=e AF=e（a＾/c-x1）=a-ex1 BF/BN=e BF=e（a＾/c-x1）=a-ex2 CF/CH=e CF=e（a＾/c-x1）=a-ex3 2BF=AF+CF 2A-8x2/5=a-4x1/5+a-4x3/5 x2=4 32/5=4（x1+x3）/5 ∴x1+x3=8; （2） AC中点R（xr，yr） xr=（x1+x3）/2=4
    2007-01-20 19:31:23
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