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曲线C是中心在原点，焦点为F(5，0)的双曲线的右支，已知它的一?

2017-10-11 11:52:00飞***
曲线C是中心在原点，焦点为 F( 5 ，0) 的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是 y= 1 2 x ．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且 EP ? ER =0 ，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．曲线C是中心在原点，焦点为F(5，0)的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=12x．（1）求曲线C的方程；（2）已知点E（2，0），若?

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  •   （1）设曲线C的方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1(x≥a，a＞0，b＞0)
    ∵一条渐近线方程是 y= 1 2 x ，c= 5
    ∴a=2b，a 2 b 2 =c 2 =5
    ∴a=2，b=1
    故所求曲线C的方程是 x 2 4 - y 2 =1(x≥2) …（5分）
    （2）设P（x 1 ，y 1 ），R（x 2 ，y 2 ），
    ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx m
    由 y=kx m x 2 4 - y 2 =1 ，
    此时1-4k 2 ≠0
    ∴ x 1 x 2 = 8km 1-4 k 2 ＞0 x 1 ? x 2 = -4 m 2 -4 1-4 k 2 ＞0 …（7分）
    由 EP ? ER =0?( x 1 -2)( x 2 -2) y 1 y 2
    =（x 1 -2）（x 2 -2） （kx 1 m）（kx 2 m）=0
    ∴（1 k 2 ）x 1 x 2 （km-2）（x 1 x 2 ） m 2 4=0
    （1 k 2 ）? -4 m 2 -4 1-4 k 2 （km-2）? 8km 1-4 k 2 m 2 4=0
    整理有 3 m 2 16km 20 k 2 =0?m=- 10k 3 ，或m=-2k …（10分）
    当m=-2k时，直线L过点E，不合题意
    当m=- 10k 3 ，则直线l的方程为 y=kx- 10k 3 =k(x- 10 3 )
    则直线l过定点（ 10 3 ，0 ）…（12分）
    ②当直线l的斜率不存在时，x 1 =x 2 ，y 1 =-y 2 ，
    由 EP ? ER =0 ，
    有 x 1 2 -4 x 1 4- y 21 =0，又 x 21 4 - y 21 =1
    从而有 x 1 = x 2 = 10 3 ．此时直线L过点 ( 10 3 ，0)
    故直线l过定点 ( 10 3 ，0) …（15分）。
      
    2017-12-22 19:13:21
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