垂足三角形-求证垂足三角形(广义)的面积不大于原三角形的四分之一,
2019-04-11 14:04:29誓***
求证垂足三角形(广义)的面积不大于原三角形的四分之一,要详细解答。垂足三角形,求证垂足三角形(广义)的面积不大于原三角形的四分之一,,求证垂足三角形(广义)的面积不大于原三角形的四分之一
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同理S四边形HCEA=2S四边形HCQA,S四边形HIAF=2S四边形IARB 于是S△DEF/S△ABC=2(S四边形HBPC+S四边形HCQA+S四边形IARB )/S△ABC=[2(S△ABR+S△BPC+S△AQC)/S△ABC] + 2 故只需证k=(S△ABR+S△BPC+S△AQC)/S△ABC>=1 记∠BAC=2a,∠ABC=2b,∠BCA=2c,则 S△BPC/S△ABC=PB*PCsin2a/AB*ACsin2a=PB*PC/AB*AC 由正弦定理,PB/AB=sina/sin2c,PC/AC=sina/sin2b 故S△BPC/S△ABC=(sina)^2/sin2b*sina2c 同理S△AQC/S△ABC=(sinb)^2/sin2a*sina2c S△ARB/S△ABC=(sinc)^2/sin2a*sina2b k=(sina)^2/sin2b*sina2c+(sinb)^2/sin2a*sina2c+(sinc)^2/sin2a*sina2b >=3[(sina*sinb*sinc)^2/(sin2a*sina2b*sina2c)^2]^(1/3)(均值不等式) =3/4 *(cosa*cosb*cosc)^(-2/3) >=3/4 * [(cosa+cosb+cosc)/3]^(-2)(均值不等式) >=3/4 * [cos(a+b+c)/3]^(-2)(琴生不等式) =1 证毕。
2019-04-11 14:13:42
2019-04-11 14:32:40
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