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??设A,B是正定矩阵证明AB是正定矩阵的充要条件是A,B可交换

2008-08-31 11:47:59m***
设A,B是正定矩阵证明AB是正定矩阵的充要条件是A,B可交换??设A,B是正定矩阵证明AB是正定矩阵的充要条件是A,B可交换：1. 设AB是正定矩阵,则 AB=(AB)^t=B^tA^t=BA 2. 设AB=?

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  • 1. 设AB是正定矩阵,则 AB=(AB)^t=B^tA^t=BA 2. 设AB=BA ⅰ. B是正定矩阵 ==> 任意n维向量X,X=y1+y2+..yk, 其中B(yi)=λiyi,λi>0,λi≠λj. 而且有性质: (yi)^t(yj)=0,i≠j. ⅱ. 上面的B(A(yi))=A(B(yi))=λiA(yi) 根据上面的性质得: (yi)^t(A(yj))=0,i≠j. ⅲ. 任意n维向量X,X=y1+y2+..yk, 根据上面的结果得: X^tABX=(y1+y2+..yk)^tAB(y1+y2+..yk)= =λ1(y1)^tA(y1)+λ2(y2)^tA(y2)+...+λk(yk)^tA(yk)>0 所以AB是正定矩阵.
    2008-09-01 10:24:53
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