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三角函数求值域问题f(x)=sinx/√(5+4cosx)，(0

2008-10-18 18:56:31黑***
f(x)=sinx/√(5+4cosx)，(0≤x≤2π)，求f(x)的值域 最好有过程，或指明解题思路三角函数求值域问题f(x)=sinx/√(5+4cosx)，(0≤x≤2π)，求f(x)的值域最好有过程，或指明解题思路：方法一： y=f(x)=sinx/√?

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  •   方法一： y=f(x)=sinx/√(5+4cosx) y=±√(1-cosx^2)/√(5+4cosx) =±√{5/8-(5+4cosx)/16-9/[16(5+4cosx)]} 如果a>0,b>0则有公式）：a+b>=2√（ab), a=(5+4cosx)/16>0,b=9/[16(5+4cosx)]>0 a+b >=2√（ab) =2√{(5+4cosx)/16*9/[16(5+4cosx)]} =3/8 所以： 1）0≤x≤π y=-√[5/8-2√(ab)] =-√(5/8-3/8) =-1/2 总上： 值域-1/2<=f(x)<=1/2 方法二： 首先这是一个连续可导函数，通过求出边界值以及极值，可求得值域 求导 f'(x) = cosx/根号(5+4cosx) + 2(sinx)^2/(5+4cosx)^(3/2) = [cosx (5+4cosx) + 2(sinx)^2]/(5+4cosx)^(3/2) = [2(cosx)^2 + 5cosx + 2]/(5+4cosx)^(3/2) = (2cosx + 1)(cosx + 2)/(5+4cosx)^(3/2) 所以 当 2cosx + 1 = 0 即 cosx = -1/2 时 f'(x) = 0 cosx = -1/2 对应 x = 120 度 sinx = √3 /2 以及 x = 240 度 sinx = -√3/2 在 x = 120 度时 f(x) = (√3 /2)/√(5 - 4 *1/2) = 1/2 在 x = 240度时 f(x) = -1/2 而在边界处 f(0) = f(360度) = 0 在 [0<=x<=2π] 上， f(x) 是连续函数。
      结合边界取值以及极值情况可以知道 f(x) 在 [0, 120] 单调递增， 在 [120, 240] 单调递减，在[240,360]单调递增。 综上所述， 值域为 [-1/2, 1/2]。
    2008-10-18 18:59:57
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