数学经典题目解答与分析
2009-05-24 00:42:061***
数学经典题目解答与分析：已知
X=(2^4+1/4)*(4^4+1/4)*(6^4+1/4)*(8^2+1/4)*(10^4+1/4),
Y=(1^4+?
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解 我们有更一般结论为: T(2n)=a(2)*a(4)*。。。*a(2n)/[a(1)*a(3)*。。。*a(2n-1)] 其中an=n^4+1/4。 a(n)=n^4+1/4=(n^2-n+1/2)*(n^2+n+1/2)。
令b(n)=n^2-n+1/2, c(n)=n^2+n+1/2。 易验证: b(2n)=4n^2-2n+1/2=(2n-1)^2+(2n-1)+1/2=c(2n-1), c(2n)=4n^2+2n+1/2=(2n+1)^2-(2n+1)+1/2=b(2n+1)。
b(n)*c(n)=(n^2+1/2)^2-n^2=n^4+1/4=a(n)， 所以 T(2n)=b(2)c(2)*b(4)c(4)。。。(b(2n)c(2n)/[b(1)c(1)*b(3)*c(3)。。。(b(2n-1)c(2n-1)] 即 T(2n)=c(2n)/b1=8n^2+4n+1。
于是 X/Y=T(10)=c(10)/b(1)=(10^2+10+1/2)/(1/2)=221。 。
2009-05-24 08:11:10
解 我们有更一般结论为: T(2n)=a(2)*a(4)*。。。*a(2n)/[a(1)*a(3)*。。。*a(2n-1)] 其中an=n^4+1/4。 a(n)=n^4+1/4=(n^2-n+1/2)*(n^2+n+1/2)。
令b(n)=n^2-n+1/2, c(n)=n^2+n+1/2。 易验证: b(2n)=4n^2-2n+1/2=(2n-1)^2+(2n-1)+1/2=c(2n-1), c(2n)=4n^2+2n+1/2=(2n+1)^2-(2n+1)+1/2=b(2n+1)。
b(n)*c(n)=(n^2+1/2)^2-n^2=n^4+1/4=a(n)， 所以 T(2n)=b(2)c(2)*b(4)c(4)。。。(b(2n)c(2n)/[b(1)c(1)*b(3)*c(3)。。。(b(2n-1)c(2n-1)] 即 T(2n)=c(2n)/b1=8n^2+4n+1。
于是 X/Y=T(10)=c(10)/b(1)=(10^2+10+1/2)/(1/2)=221。 。
2009-05-24 10:12:46
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