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请教下定积分第一方面的问题（1）为什么说f(x）若在a,b-上

2010-03-30 23:31:08伟***
（1）为什么说f(x）若在[a,b]上可积则f(x)在[a,b]上有界？ （2）符号函数在[-1，1]上的定积分是否等于0 能否写下过程，因为对0那个点不知道怎么处理 （3）对于您先前回答我问题时提到的狄利克莱函数虽然我知道不可积，却说不出是什么道理，可能是我对可积的定义理解的不好，能麻烦简要说明下嘛？ 谢谢请教下定积分第一方面的问题（1）为什么说f(x）若在[a,b]上可积则f(x)在[a,b]上有界？（2）符号函数在[-1，1]上的定积分是否等于0能否写下过程，?

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  • 山路水桥老师：鱼儿越俎代庖了。 (1)为什么说f(x)若在[a,b]上可积则f(x)在[a,b]上有界？ 答：在定积分的定义(参见同济六版《高等数学》)的一开始，对函数f(x)就要求满足“f(x)在[a,b]上有界”的条件，因此，若f(x)在[a,b]上可积（或称定积分存在），则f(x)在[a,b]上必定是有界的。实际上，若f(x)在[a,b]上无界则这个积分属于反常积分（广义积分）而不再是定积分了。 值得指出的是：在现行的高等数学教材里，“可积”一词仅仅是对定积分（或黎曼积分）而言的，对于不定积分存在或不存在我们只说“f(x)的原函数存在或不存在”， 对于反常积分（广义积分）存在或不存在我们只说“反常积分（广义积分）收敛或发散”。 (2) 答：结论正确。解答如下：
    2010-03-31 01:00:53
  • 本页问题，鱼儿老师基本上作了完整的解答。唯有一个小错，我来纠正一下。 请楼主根据“鱼儿老师”正确解答部分所作的巨大工作量，采纳她提供的解答。 对我的解答认真重视就可以了。 【鱼儿老师的小错】是，她说了【在定积分的定义的一开始，对函数f(x)就要求满足“f(x)在[a,b]上有界”的条件】。 实际上【黎曼可积】的定义，并没要求函数f(x)在闭区间[a,b]有界。但是可以据此推证出【可积必定有界】。
    2010-03-31 11:01:12
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