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设f(x)是定义在R上的单调函数，满足f(x+y)=f(x)+f?

2007-06-12 15:44:08亲***
设f(x)是定义在R上的单调函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y),求证：f(x)=f(1)*x详细的解答设f(x)是定义在R上的单调函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y),求证：f(x)=f(1)*x详细的解答：1.f(0+0)=f(0)+f(0) ==>f?

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  •   1。f(0+0)=f(0)+f(0) ==>f(0)=0。 2。f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 ==>f(-x)=-f(x)。 3。n为正整数, f((n+1)x)=f(nx)+f(x), 数学归纳得:f(nx)=nf(x) 4。
      n为整数,从2。3。得:f(nx)=nf(x)。 5。m,n为整数从4。得: f(x)=mf(x/m)=m/nf(nx/m) ==>f(nx/m)=(n/m)f(x)。 所以f(n/m)=(n/m)f(1)。 6。可设f(x)是定义在R上的单调递增函数， ==>f(1)≥f(0)=0。
       可设f(1)>0。 7。设,x>0,对于任意ε>0, 有s,t,m,n为正整数满足: x-ε≤s/t≤x≤n/m≤x+ε ==> (s/t)f(1)=(s/t)f(1)≤f(x)≤f(n/m)=(n/m)f(1) ==> f(1)(x-ε)≤f(x)≤f(1)(x+ε), ==>f(1)x≤f(x)≤f(1)x ==>f(x)=f(1)x 若0>x,f(x)=-f(-x)=-f(1)(-x)=f(1)x 所以f(x)=f(1)*x 8。
      f(x)是定义在R上的单调递减函数， -f(x)符合7。的条件。 。
    2007-06-13 08:28:45
  • f(0)=f(0)+f(0)=2f(0) 所以f(0)=0 f(0)=f(x)+f(-x)=0 　所以f(-x)=-f(x) 因为函数在Ｒ上单调，所以函数f(x)是奇函数。 我们再观察几个式子： f(1)=f(1)*1 f(2)=f(1+1)=f(1)*2 f(3)=f(2+1)=f(1)*2+f(1)=f(1)*3 ...... 又因为函数在Ｒ上是奇函数，所以定义域是负值时同样成立。 于是有：f(x)=f(1)*x 本题得证。
    2007-06-13 09:01:05
  • 从特殊到一般.f(x)=f(x),f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x),f(3x)=f(2x)+f(x)=3f(x)......因为题目中出现f(1),所以令x=1,有f(1)=f(1),f(2)=2f(1).......,f(n)=nf(1),再令n=x,得f(x)=f(1)*x .所以只需证明 f(n)=nf(1),这个式子很容易证.
    2007-06-12 20:41:06
  • f(x)=kx满足条件f(x+y)=f(x)+f(y)且在R上单调, f(1)=k 所以f(x)=f(1)*x
    2007-06-12 17:54:11
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