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设二次函数F(X)=ax2+bx+c(a,b,c∈X)满足下列条?

2009-08-21 21:04:59s***
设二次函数F(X)=ax2+bx+c(a,b,c∈X)满足下列条件:（1）当X∈R时，F（X）的最小值为0，且F（X-1）=F（-X-1）成立： （2）当X∈（0，5）时，X≤F（X）≤2/X-1/+1恒成立。 1.求F（1）的值 2.求F（X）的解析式 3.求最大的实数M（M＞1），使得存在实数T，只要当X∈[1，M]时，就有F（X+T）≤X成立 设二次函数F(X)=ax2+bx+c(a,b,c∈X)满足下列条件:（1）当X∈R时，F（X）的最小值为0，且F（X-1）=F（-X-1）成立：（2）当X∈（0?

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  • 当X∈（0，5）时，X≤F（X）≤2/X-1/+1恒成立。当x=1时， 1≤F（1）≤2/1-1/+1 即1≤F（1）≤1 F（1）=1 F（X-1）=F（-X-1） 所以二次函数F(X)=ax2+bx+c(a,b,c∈X)关于x=-1对称 -b\2a=-1 F（X）的最小值为0 则a大于0 F(-1)=a-b+c=0 F（1）=a+b+c=1 得a=1\4 b=1\2 c=1\4 F（X）的解析式F(X)=1\4x2+1\2x+1\4 设g(x)=F（X）-x=1/4x^2-1/2x+1/4=1/4(x-1)^2 关于x=1对称 函数在【1，M】上单调递增 只要当X∈[1，M]时，就有F（X+T）≤X成立 则F(M)小于等于M
    2009-08-21 21:19:29
  •   【对于第3题，以上朋友的解答都错了】 【一楼朋友的解答，这里就不加评论了】 【二楼朋友有点眉目，但没看清题意中关于“T是实数”的讲法，在错误的“定势思维”下，认定了“T是正数”】 (1)当X∈(0，5)时，X≤F(X)≤2|X-1|+1恒成立。
       令其中的x等于1， 则有 1≤F(1)≤2|1-1|+1, 即1≤F(1)≤1，所以 F(1)=1 。 (2)F(X-1)=F(-X-1) 所以二次函数F(X)=a*x^2+b*x+c的图形以x=-1为对称轴(a,b,c∈X)， 即 F(X)=a(x+1)^2+k， 当X∈R时，F(X)的最小值为0，所以必有a>0，k=0。
      即 F(X)=a(X+1)^2。 又因为F(1)=1，所以a=1/4，即F(X)=(1/4)*(X+1)^2。 (3)设G(T)=F(X+T)-X=(1/4)*(X+T+1)^2-X =(1/4)*[T^2+2*(X+1)*T+(X-1)^2] 按题意的关键要求是“存在T，使G(T)≤0成立”， 由于G(T)是二次函数，其图形是开口向上的抛物线， 所以要使G(T)≤0有解，必须有△≥0成立， 即[2*(X+1)]^2-4*(X-1)^2≥0，解之得X≥0．在X≥0时， 不等式T^2+2*(X+1)*T+(X-1)^2≤0的解为-(X+1)-2√x≤T≤-(X+1)+2√x， 即-(1+√X)^2≤T≤-(1-√X)^2。
       记解集[-(1+√X)^2,-(1-√X)^2]为U(X)，在X≥0时， 由于U(X)的左端点和右端点都单调减少， 即1≤M时，-(1+√M)^2≤-(1+√1)^2，-(1+√M)^2≤-(1+√1)^2 所以按题意要求两个集合U(1)与U(M)之交集非空， 所以必须有-(1+√1)^2≤-(1-√M)^2，解得M≤9． 【结论】M的最大值为9．。
      
    2009-08-22 08:55:44
  •    二次函数，最小值是0，可知函数图像为一开口向上的抛物线，且与X轴只有一个交点。此函数的形式应为 Y=a(X+m)^2 ,(a>0) 由 F（X-1）=F（-X-1）成立，代入可求出m: a(X-1+m)^2 =a(-X-1+m)^2 (X-1+m)^2 =(-X-1+m)^2 (X-1+m) =±(-X-1+m) 由(X-1+m) =-(-X-1+m)，可得 m=1 故得 F(X)=a(X+1)^2 按照“当X∈（0，5）时，X≤F（X）≤2/X-1/+1恒成立”的要求， 即当X=5时，应有 a(5+1)^2 ≤2（5-1）+1=9，得 a=1/4 故 F(X)=(1/4)[(X+1)^2] 代入 X=1 ,可得 F(1)=1 3。
      求最大的实数M（M＞1），使得存在实数T，只要当X∈[1，M]时，就有F（X+T）≤X成立 。 谢谢山路水桥给我指出来错误！我重新考虑如下： 解： 当 X=1 时，要使 F（X+T）≤X成立，即 (1/4)[(1+T+1)^2]≤1 可得 -4≤ T≤0 取 T=0,X=M ，要使 F（X+T）≤X 成立，即 F（M+0）≤M (1/4)[(M+0+1)^2]≤M ,得 M=1 取 T=-4,X=M ,要使 F（X+T）≤X 成立，即 F（M-4）≤M (1/4)[(M-4+1)^2]≤M ,得 1≤M≤9 由上可知，M应在1到9之间。
       故取 M=9,就存在 T=-4,只要当X∈[1，M]时，就有F（X+T）≤X成立 。 即，能满足要求的最大实数是 M=9 改完后看到了山路水桥的解答，我的结果和他相同，看来会是正确的了。山路水桥的解答比较深奥，可能推理比较严密周到，我没系统学过集合，理解不深。
      但他没给出T值，不知用他的方法算出T值来，是否和我一样？ 。
    2009-08-22 00:04:43
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