方程组{x+y+z=2，xy+yz+zx=1，xy=(k-1)z?
2012-08-25 13:04:14s***
方程组{x+y+z=2，xy+yz+zx=1，xy=(k-1)z+1}的所有解均为正数，求实数k的取值范围。方程组{x+y+z=2，xy+yz+zx=1，xy=(k-1)z+1}的所有解均为正数，求实数k的取值范围。：x+y=2-z；
xy=(k-1)z+1；
x?
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x+y=2-z；
xy=(k-1)z+1；
x,y,z>0,
∴x+y=2-z>0,xy=(k-1)z+1>0,
xy+(x+y)z=1
→(k-1)z+1+(2-z)z=1
→k+1=z>0,∴k>-1.
∴xy=(k-1)z+1=k^2>0,∴k≠0,
x+y=1-k>0,∴k<1
∵x+y≥2√(xy)
∴1-k≥2|k|
∴k≤1/3
∴k∈(-1,0)∪(0,1/3]
果然思维不严谨啊，看到柳树老师的答案才发现自己很多漏洞.
2012-08-25 13:36:16
{x+y+z=2①
{xy+yz+zx=1②
{xy=(k-1)z+1③
由①，得x+y=2-z④
由②，得xy+z(x+y)=1⑤
将③、④代入⑤，得
(k-1)z+1+z(2-z)=1
→z(k+1-z)=0
而方程所有解为正数，即z>0，
故k+1-z=0→k+1=z>0，
即k>-1⑥
将z=k+1代回③、④，得
{x+y=1-k
{xy=k
而x、y>0，故x、y是关于t的一元二次方程
t^2-(1-k)t+k^2=0的两正实根.
所以，
{△=(1-k)^2-4k^2≥0
{1-k>0
{k^2>0
解得，-1≤k≤1/3且k≠0⑦
∴由⑥、⑦得，k∈(-1，0)∪(0，1/3]。
2012-08-25 13:46:06
回答你的这个问题要写很多字母，不容易呢！第一个方程先平方，然后用X^2+Y^2≥2XY,带入算，得到k≤1-Z/2;
所有解均为正数,所以xy>0,又因为,02012-08-25 13:40:15
x+y+z=2………①
xy+yz+zx=1…②
xy=(k-1)z+1…③
将③代入②得：
(k-1)z+1+yz+zx=1
＝＞z[(k-1)+y+x]=0
∵x、y、z均为正数
∴z≠0，(k-1)+y+x=0
＝＞x+y=1-k＞0
∴k＜1
由①得：x+y=2-z…④
由②得：xy+z（x+y）=1…⑤
将③④代入⑤得：
(k-1)z+1+z（2-z）=1
＝＞z[(k-1)+（2-z）]=0
∵z≠0，
∴(k-1)+（2-z）=0
＝＞z=k+1＞0
∴k＞-1
综上-1＜k＜1
2012-08-25 13:38:17
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