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数学正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱B1B的中点，（1）

2009-08-09 08:40:111***
正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱B1B的中点， （1）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1 （2）若平面ADC1与平面ABC所成的角为θ，求sinθ的值。 数学正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱B1B的中点，（1）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1（2）若平面ADC1与平面ABC所成的角为θ，求sinθ的值?

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  • (1)取CC1、AA1的中点E、F，显然AC1、CA1、EF有公共中点G. 由于 DE=DF，所以DG⊥EF；由于 DA1=DC，所以DG⊥A1C， 这就说明了DG⊥平面ACC1A1，所以平面ADC1⊥平面ACC1A1 。 (2)设底面正三角形边长为a，侧棱长为h，则AC1=√(a^2+h^2) 平面ADC1与平面ABC所成的角就是平面ADC1与平面DEF所成的角. 而平面ADC1与平面DEF的交线是DG， 上面已经得到了EG⊥DG的结论， 另一方面由于 DA=DC1，所以DG⊥AC1，GC1⊥DG，所以θ=∠EGC1=∠CAC1, 所以 sinθ=h/√(a^2+h^2).
    2009-08-09 11:24:50
  •   （1）取AC,A1C1的中点N,N1,连结NN1交AC1于M,连MD,则NN1 = CC1于是NM = BD, ∴BDMN是矩形, DN‖BN ∵ABC—A1B1C1是直三棱柱 平面ABC⊥平面ACC1A1 ∵BN⊥AC ∴BN⊥平面ACC1A1 DM平面ADC1 因此平面ADC1⊥平面ACC1A1 （2）延长CB、C1D,使两直线相交于点E，连结AE, 在三角形EC1C,因为点D是B1B中点，所以BD=B1D=1/2BB1 又BB1//CC1,BB1=CC1。
       所以BD//CC1,且BD=1/2CC1。 即BD为三角形ECC1的中位线 所以，EB=BC=AB。 所以角EAC=90度，即CA垂直AE, 又CC1垂直平面ABC,且AE为平面ADC1与平面ABC的相交线 所以平面ADC1与平面ABC所成角θ为角C1AC。
       所以sinθ=sin角C1AC=CC1/AC1 。
    2009-08-09 10:25:35
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