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高二文科数学已知直线y=-x+1与椭圆x*2/a*2+y*2/b

2010-01-16 13:07:21k***
已知直线y=-x+1与椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a＞b＞0）相交于AB两点，且直线AB中点在直线L：x-2y=0上 (1）求此椭圆离心率 （2）若此椭圆右焦点关于直线L的对称点在圆x*2+y*2=4上，求此椭圆方程高二文科数学已知直线y=-x+1与椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a＞b＞0）相交于AB两点，且直线AB中点在直线L：x-2y=0上(1）求此椭圆离心率?

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    2010-01-16 13:52:29
  •   已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0）相交于AB两点，且直线AB中点在直线L：x-2y=0上 (1)求此椭圆离心率;(2)若此椭圆右焦点关于直线L的对称点在圆x^2+y^2=4上，求此椭圆方程。 解：把y=-x+1 (1) 代入椭圆方程得b^2*x^2+a^2*(-x+1)^2=a^2*b^2, (a^2+b^2)x^2-2a^2*x+a^2-a^2*b^2=0。
       设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2a^2/(a^2+b^2),x1x2=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)。 由(1),(y1+y2)/2=-(x1+x2)/2+1=b^2/(a^2+b^2)。 (1)AB的中点(a^2/(a^2+b^2),b^2/(a^2+b^2))在直线x-2y=0上， ∴a^2=2b^2,∴c^2=b^2,c^2/a^2=1/2,椭圆离心率c/a=(√2)/2。
       (2)c=b,右焦点F(b,0)关于L的对称点P在圆x*2+y*2=4上，设P(2cost,2sint),则 FP的斜率2sint/(2cost-b)=-2,sint=b-2cost,2cost+sint=b (2) FP的中点((2cost+b)/2,sint)在L上，(2cost+b)/2-2sint=0，2cost+b=4sint,2cost-4sint=-b (3) 由(2),(3)解得sint=2b/5,cost=3b/10。
      (sint)^2+(cost)^2=b^2/4,b^2=4,a^2=8,椭圆方程为x^2/8+y^2/4=1。 。
    2010-01-16 14:53:35
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