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直角三角形内切圆和外接圆半径分别是R和r,求斜边上高以及r/R的?

2010-10-12 09:02:071***
直角三角形内切圆和外接圆半径分别是R和r, 求斜边上高以及r/R的最大值. 答正确加分.直角三角形内切圆和外接圆半径分别是R和r,求斜边上高以及r/R的最大值.答正确加分.：这直角三角形斜边长2R, 两直角边之和减去斜边长等于2r. 设这直角三?

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  • 这直角三角形斜边长2R, 两直角边之和减去斜边长等于2r. 设这直角三角形两直角边x,y,斜边上高h. 则有x+y=2R+2r(*), x^2+y^2=4R^2(**). (*)平方减(**),得2xy=8Rr+4r^2,xy=4Rr+2r^2 由三角形面积公式可得, 斜边上高h=xy/2R=(4Rr+2r^2)/2R=2r+r^2/R 斜边上高不大于斜边上中线长,所以 h≤R,即2r+r^2/R≤R,2(r/R)+(r/R)^2≤1 (r/R)^2+2(r/R)-1≤0. 02010-10-12 09:18:23
  •   直角三角形内切圆和外接圆半径分别是r和R，求斜边上高以及r/R的最大值。 说明一下，你原来题目中对于r，R的不对。应该是外接圆半径为R，内切圆半径为r！ 如图 Rt△ABC斜边AB=2R，内切圆O半径为r 连接O与△ABC三边切点D、E、F，则它们与三边均垂直。
      连接OA、OB、OC 设AD=AF=x，BD=BE=y 那么： AB=x+y=2R AC=x+r BC=y+r 所以，△ABC的周长=AB+BC+AC=2R+(x+r)+(y+r)=2R+2r+(x+y) =2R+2r+2R =2(2R+r)…………………………………………………………（1） △ABC的面积=(1/2)*AC*BC=(1/2)*(x+r)*(y+r) =(1/2)[r^2+(x+y)r+xy] =(1/2)[r^2+2Rr+xy]……………………………………………（2） 在Rt△ABC中由勾股定理得到：AC^2+BC^2=AB^2 ===> (x+r)^2+(y+r)^2=4R^2 ===> x^2+2rx+r^2+y^2+2ry+r^2=4R^2 ===> (x^2+y^2)+2r(x+y)+2r^2=4R^2 ===> (x^2+y^2)+4Rr+2r^2=4R^2 ===> [(x+y)^2-2xy]+4Rr+2r^2=4R^2 ===> 4R^2-2xy+4Rr+2r^2=4R^2 ===> 2xy=4Rr+2r^2 ===> xy=2Rr+r^2………………………………………………（3） 代入(2)得到，△ABC的面积=(1/2)[r^2+2Rr+2Rr+r^2]=r^2+2Rr 而，△ABC的面积=(1/2)*AB*h=R*h 所以：r^2+2Rr=Rh 则，h=(r^2+2Rr)/R 这就是斜边上的高。
       很明显，斜边上的高是C到AB的距离，则h≤斜边中线=斜边一半=R 所以，(r^2+2Rr)/R≤R ===> r^2+2Rr≤R^2 ===> r^2+2Rr-R^2≤0 ===> (r/R)^2+2(r/R)-1≤0 令0＜r/R=t＜1 ===> t^2+2t-1≤0 ===> t≤(-2+√8)/2=√2-1 即，r/R有最大值√2-1。
      
    2010-10-12 18:39:59
  • 解:直角三角形的斜边为外接圆的直径=2R 内接圆与直角三角形三边相切圆心到三边的距离为r 设两直角边分别为a、b 则有1、（a-r)+(b-r)=2R 所以a+b=2(R+r) 2、a^2+b^2=4R^2 配方得(a+b)^2-2ab=4R^2 所以ab=2(R+r)^2-2R^2=2r^2+4Rr 设三角形的高为h 则有a/2R=h/b h=ab/2R=(2r^2+4Rr)/2R=(r^2+2Rr)/R
    2010-10-12 09:31:55
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