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请教一道求多元函数的复合偏导数（1）本题第1问中，在r不等于0的

2011-04-23 19:31:18忘***
（1）本题第1问中，在r不等于0的点上，证得了所要的结论；但在r等于0的点，为啥不需要讨论？结论照样成立？ （2）同问，在本题第2问中，在中间变量x,y,z不等于0的点上，证得了结论；但在x,y,z等于0的点，为啥不需要讨论？结论照样成立？ 谢谢请教一道求多元函数的复合偏导数（1）本题第1问中，在r不等于0的点上，证得了所要的结论；但在r等于0的点，为啥不需要讨论？结论照样成立？（2）同问，在本题第2问?

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  • 【第一题】 【u与r无关】是一种【泛指】，对于【具体的点（例如P）】，没有【在P点处，u与r无关】的概念。 虽然如此，但是我还是觉得在结论上要注明一下r≠0。因为r=0是必须排除的。 除了u≡0， u(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)与r无关的含义，就是要在排除r=0的情况后，对于任意两个不同的正数a,b，恒有 u(asinφcosθ,asinφsinθ,acosφ)=u(bsinφcosθ,bsinφsinθ,bcosφ)。 如果我们从更高处看就会更清楚，这就是齐次函数的特征，对于齐次函数，必有u(0,0,0)=0，如果不排除r=0的情况，那么【u与r无关】就意味着有u≡0了。 【至于第二题】题义隐含的条件，就可以不用讨论三个坐标面（包括坐标轴、坐标原点）。
    2011-04-29 16:31:43
  • 我想是因为u(x,y,z)具有连续偏导数吧。 可以证明u对r具有连续偏导数。 由此可知：r≠0，u对r的偏导恒为0，->r=0,u对r偏导为0 故u对r的偏导恒为0。 第二题也类似，不过是x,y,z中某一个为0时，有几个点需要连续性说明罢了。
    2011-04-23 21:15:34
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