勾股定理-什么叫勾股定理?解释一下怎么推导的。
2019-03-31 17:53:06张***
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在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。
定理: 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a²+b²=c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a,b,c满足a²+b²=c² ,那么这个三角形是直角三角形。
(称勾股定理的逆定理) 【证法1】(赵爽证明) 以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB。
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º, ∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2。 ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º。
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于 。 ∴ ∴ 。 【证法2】(课本的证明) 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等。 即 , 整理得 。 【证法3】(1876年美国总统Garfield证明) 以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 。 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上。
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC。 ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º。 ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于 。 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD‖BC。∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于 【证法4】(欧几里得证明) 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD。
过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L。 ∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD,∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, ∵ ΔFAB的面积等于 ,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,∴ 矩形ADLM的面积 = 。
同理可证,矩形MLEB的面积 = 。 ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ ,即 。 【证法5】(利用相似三角形性质证明) 如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D。
在ΔADC和ΔACB中,∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º,∠CAD = ∠BAC, ∴ ΔADC ∽ ΔACB。 ∴AD∶AC = AC ∶AB,即 。 同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有 。 ∴ ,即 【证法6】(邹元治证明) 以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 。
把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上。 ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF。 ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。 ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形。 它的面积等于c2。 ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA。 ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。
又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。 ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于 。 ∴ 。 ∴ 。 【证法7】(利用切割线定理证明) 在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c。
如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a。 因为∠BCA = 90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线。 由切割线定理,得 = = = , 即 ,∴ 。 【证法8】(作直角三角形的内切圆证明) 在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c。
作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r。 ∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE, ∴ = = r + r = 2r,即 , ∴ 。∴ ,即 , ∵ ,∴ , 又∵ = = = = , ∴ ,∴ , ∴ , ∴ 。
。
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