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已知函数,是常数.讨论的单调性;求时,零点的个数;求证:(,为自?

2018-05-09 17:03:25李***
已知函数,是常数.
讨论的单调性;
求时,零点的个数;
求证:(,为自然对数的底数).已知函数,是常数.讨论的单调性;求时,零点的个数;求证:(,为自然对数的底数).已知函数,是常数.讨论的单调性;求时,零点的个数;?

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  •   讨论含参数的函数的单调性问题,先求出导函数,令,本小题要对参数分,,三种情形进行讨论,对运算能力要求较高;
    ,由的结论,所以分三个单调区间来利用单调性来讨论函数的零点的个数问题。
    是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利用前面的结论构造函数,利用函数的单调性,对于函数取单调区间上的正整数自变量有某些结论成立,进而解答出这类不等式问题的解。
      
    解:,
    若,则,在定义域内单调递增;若,
    则,在定义域内单调递减;若,由
    解得,,,
    直接讨论知,在
    和单调递减,
    在单调递增。
      
    观察得,时,
    由得在单调递减,
    所以在上有且只有一个零点;
    ,
    计算得,
    且在区间单调递增,
    所以在上有且只有一个零点;
    根据对数函数与幂函数单调性比较知,
    存在充分大的,使,
    且在区单调递减,
    所以在上
    从而在上有且只有一个零点。
      
    综上所述,时,有个零点。
    取,,
    由得单调递减,
    所以,,,
    从而
    ,
    由单调递增得。
    单调性刻画函数两个变量变化趋势的一致性,是认识函数的重要角度,运用单调性可以确定函数零点的个数,考查导数使单调性可以定量,精确研究这一重要工具。
      参数是可变的常数,处理参数是比较高端的数学素养,本题考查了这一素养,因此对学生的综合应用能力要求较高。
    2018-05-09 19:50:35
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