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求包含2的方根与3的方根的最小数域

2005-09-23 13:59:13z***
求包含2的方根与3的方根的最小数域。：包含2的方根与3的方根的最小数域= =Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c?

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  •   包含2的方根与3的方根的最小数域= =Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c,d∈Q}。 1。显然有[Q(√2):Q]=2，由于√3不是Q(√2)的元素，所以 [Q(√2)(√3):Q(√2)]=2==》[Q(√2,√3)：Q}=4。
       2。显然Q[√2,√3,√6]是Q(√2,√3)的1部分。 所以Q[√2,√3,√6]为Q(√2,√3)的子空间， 只需证明1/(a+b√2+c√3+d√6)∈Q[√2,√3,√6] ⅰ)证明1/(a+d√6)∈Q[√2,√3,√6] 1/(a+d√6)=(a-d√6)/[a^2-6d^2]∈Q[√2,√3,√6] ⅱ）1/(a+b√2+c√3+d√6)= =（-a+b√2+c√3-d√6）/[（a+b√2+c√3+d√6）（-a+b√2+c√3-d√6）]= =（-a+b√2+c√3-d√6）/[（b√2+c√3）^2-（a+d√6）^2]= =（-a+b√2+c√3-d√6）/[2b^2+3c^2-a^2-6d^2+(2bc-2ad)√6] 由ⅰ)得1/[2b^2+3c^2-a^2-6d^2+(2bc-2ad)√6]∈Q[√2,√3,√6] ==》1/(a+b√2+c√3+d√6)∈Q[√2,√3,√6]，==》 Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c,d∈Q}， 且1，√2,√3,√6为Q(√2,√3)的1个基。
       在“Q(√2＋√3）”中也可求出： Q(√2＋√3）=包含2的方根与3的方根的最小数域 。
    2005-09-23 16:09:26
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