求不定积分不定积分dt/(2根号tant)怎么求
2018-04-15 03:09:10w***
不定积分dt/(2根号tant)怎么求求不定积分不定积分dt/(2根号tant)怎么求：令x＝√tant，则t＝arctan(x^2)，dt＝2xdx/(1+x^4)，原不定积分转化为∫dx/(1+?
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令x＝√tant，则t＝arctan(x^2)，dt＝2xdx/(1+x^4)，原不定积分转化为∫dx/(1+x^4)。
方法一：分解1+x^4＝(1+x^2)^2－(√2x)^2＝(1+x^2+√2x)(1+x^2－√2x)。利用有理函数的积分方法即可。
方法二：把1/(1+x^4)的积分转化为(1+x^2)/(1+x^4)和(1－x^2)/(1+x^4)的积分。
对(1+x^2)/(1+x^4)，上下同除以x^2，分子1+1/x^2为x－1/x的导数，分母x^2+1/x^2＝(x－1/x)^2+2。
(1－x^2)/(1+x^4)的化简类似。
2018-04-15 05:20:19
令tant=x,则t=arctan(x^2),dt=2xdx/(1+x^4),所以
原式=dx/(1+x^4)
=dx/[(1-x√2+x^2)(1+x√2+x^2)]
=(2/8)ln[(1+x√2+x^2)/(1-x√2+x^2)]+(2/4)arctan[x√2/(1-x^2)]+C.
注：把被积式分解成最简分式：(ax+b)/(1+x√2+x^2)+(cx+d)/(1-x√2+x^2)
进一步分解以后就可以达到最后的积分。
2018-04-15 05:20:19
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