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竞赛数学任给七个实数，证明必存在两个实数x,y满足:0≤(x-y

2008-07-10 13:11:35高***
任给七个实数，证明必存在两个实数x,y满足:0≤(x-y)/(1+xy)≤1/√3。 竞赛数学任给七个实数，证明必存在两个实数x,y满足:0≤(x-y)/(1+xy)≤1/√3。：任给七个实数，证明必存在两个实数x,y满足:0≤(x-y)/(1+?

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  • 任给七个实数，证明必存在两个实数x,y满足:0≤(x-y)/(1+xy)≤1/√3。 证 联想两角差的正切公式，可将7个实数表示成:tanβ1,tanβ2,tanβ3,tanβ4,tanβ5,tanβ6,tanβ7.且不妨设 -π/2<β1≤β2≤β3≤β4≤β5≤β6≤β7<π/2，将区间(-π/2,π/2)分成6个子区间(-π/2,-π/3],(-π/3,-π/6],(-π/6,0],(0,π/6],(π/6,π/3],(π/3,π/2),根据抽屉原理，上述7个βi中必有某两个数在同一个子区间。不妨设βj,β(j+1)在同一个子区间内(1≤j≤6)，因为 0≤β(j+1)-βj≤π/6. 则 0≤tan[β(j+1)-βj]≤tan(π/6)=1/√3. 即 0≤(x-y)/(1+xy)≤1/√3。证毕。
    2008-07-13 09:18:25
  • 学过三角函数吗，正切学过吗？就是tan。tan（α－β）＝（tanα－tanβ）/（1+tanαtanβ），tan的值域为R。与题相符，每个实数用一个正切代替，所以可改题为0＝2008-07-10 13:55:35
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