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求三棱锥的内切球和外接球半径已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△

2008-12-27 20:56:181***
已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△，侧棱长均为b，求它的内切球和外接球半径 要推导过程 谢谢求三棱锥的内切球和外接球半径已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△，侧棱长均为b，求它的内切球和外接球半径要推导过程谢谢：已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△，侧?

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  •   已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△，侧棱长均为b，求它的内切球和外接球半径 已知三棱柱P-ABC的底面ABC为边长=a的正三角形，左右侧棱长均为b 1）外接球的情形 连接PO，并延长PO交面ABC于点O' 因为P-ABC为正三棱椎，所以：O'为△ABC的内心 且，PO⊥面ABC 连接CO'并延长，交AB边于点D，则D为AB中点 连接OC 则，OP=OC=R（外接球半径） 因为ABC为正三角形，所以：CO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a 设OO'=x 那么：PO'=R+x 在Rt△OO'C中，由勾股定理有：OC^2=OO'^2+CO'^2 即：R^2=x^2+[(√3/3)a]^2=x^2+(a^2/3)……………………（1） 而，在Rt△PO'C中，也有：PC^2=PO'^2+CO'^2 即：b^2=(R+x)^2+[(√3/3)a]^2=(R+x)^2+(a^2/3)…………（2） 联立(1)(2)得到： R=(b^2/2)*{√[3/(3b^2-a^2)]} 2）内切球情形 连接PO并延长，交底面ABC于O' 连接CO'并延长，交边AB于D，则D为AB中点 连接PD，球O切面PAB于点E，切面ABC于O' 连接OO'、OE，则：OO'⊥面ABC，OE⊥面PAB 同1）有： CO'=(√3/3)a PO'^2=PC^2-CO'^2=b^2-(a^2/3) 所以：PO=√[b^2-(a^2/3)] 所以，PO=PO'-OO'=√[b^2-(a^2/3)]-r 由于Rt△DOO'≌Rt△DOE，所以：DO'=DE=CO'/2=(√3/6)a 而，PD^2=PB^2-BD^2=b^2-(a/2)^2=b^2-(a^2/4) 所以：PD=√[b^2-(a^2/4)] 设内切球半径为r，那么：由Rt△POE∽Rt△PDO'得到： PO/PD=OE/DO' {√[b^2-(a^2/3)]-r}/√[b^2-(a^2/4)]=r/(√3a/6) 解得： r=[a*√(3b^2-a^2)]/[√3a+b*√(b^2-a^2/4)]。
      
    2008-12-27 21:44:16
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