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数学几何难题如图1，在△ABC中，AB=AC=2,角A=90°，

2010-04-09 23:35:08圆***
如图1，在△ABC中，AB=AC=2,角A=90°，O是AB的中点，E.F分别是AB.AC上的动点。求（1）当角EOF=45°，设BE=Χ,CF=γ,求Χ和γ的函数解析式 （2）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图2）探究EF与⊙O的位置关系并证明。数学几何难题如图1，在△ABC中，AB=AC=2,角A=90°，O是AB的中点，E.F分别是AB.AC上的动点。求（1）当角EOF=45°，设BE=Χ,CF=γ?

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  •   【估计原题中“O为BC的中点。】 1）解:∠EOF=45°,则∠COF+∠BOE=135°; ∠B=45°,则∠BEO+∠BOE=45°。故∠COF=∠BEO。 又∠B=∠C,则⊿BEO∽⊿COF,BE/CO=BO/CF,X/√2=√2/Y, 所以XY=2,Y=2/X。
      (1≤X≤2) 2)圆O与EF相切。 证明:假设圆O与AB,AC分别切于点D,G。连接OD和OG。
       则OD=BD=1,OG=CG=1; S⊿OEF=S⊿ABC-S⊿BOE-S⊿COF-S⊿AEF=2-x/2-y/2-AE*AF/2 =2-x/2-y/2-(2-x)*(2-y)/2 2S⊿OEF=x+y-xy=x+y-2=√(x+y-2)^2=√(x^2+y^2-4x-4y+2xy+4) =√(x^2+y^2-4x-4y+8)=√[(x-2)^2+(y-2)^2]; 又EF=√(AE^2+AF^2)=√[(x-2)^2+(y-2)^2]; ∴⊿OEF中EF上的高=2S⊿OEF/EF=1,即点O到EF的距离等于圆O的半径OD,所以圆O与EF相切。
    2010-04-10 01:46:15
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