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有关线性代数中的子空间（subspace）的问题1、子空间和sp

2010-12-19 17:18:28r***
1、子空间和span{ v1,v2...,vn }（v1~vn为向量）之间是什么样的关系？这点我弄不清。 2、R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间吗？ 3、请用Rn空间为例子解释下子空间的定义或者是说概念。有关线性代数中的子空间（subspace）的问题1、子空间和span{v1,v2...,vn}（v1~vn为向量）之间是什么样的关系？这点我弄不清。2、R3中的?

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  •   1。子空间就是线性空间的非空集合对于其中的运算也构成一个空间，而span{ v1,v2。。。,vn }表示由v1,v2。。。,vn 张成的子空间，即v1,v2。。。,vn 所有可能的线性组合构成的子空间。子空间是空间，从而子空间存在着基底，子空间的任何一个基底张成的空间就是这个子空间本身。
      综上：子空间可以看成一些向量张成的空间，而由一些向量v1,v2。。。,vn 张成的空间span{ v1,v2。。。,vn }一定是一个子空间。 2、R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。按照子空间的判断方法，只需要验证对其加法和数乘运算封闭即可。
      这里的加法是向量加法，数乘是数和向量的数乘。 易知，对于过原点的直线来说，其上任意两点对应的两个向量（原点为起点，直线上的点为终点对应的向量）必共线，从而可知相加之后，起点仍选为原点，终点必落在原来的直线上，因此，对加法封闭。其次，对于数乘，很容易验证也封闭。
       故，R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。 对于不过原点的直线，构不成子空间。 3、请用Rn空间为例子解释下子空间的定义或者是说概念。 这里关键是理解子空间的概念以及其判定方法： 只需要所给线性空间的非空子集合对于线性空间本身的两个运算：加法和数乘封闭即可！ 比如：向量（0，0，。
      。。，0）本身构成Rn的一个零维子空间， 因为这个集合只有一个元素0,0+0=0，k0=0，所以对加法和数乘封闭。 向量（1,0，。。。，0）的倍数的全体就构成Rn的一个一维子空间， 因为这个集合的元素都是（1,0，。。。，0），易知 （1,0，。
      。。，0）的倍数相加仍是它的倍数，且任何一个数k乘以它的倍数仍是它的倍数， 即 k*d（1,0，。。。，0）=kd*（1,0，。。。，0） 所以对加法数乘封闭。 向量（1,0,。。。，0）和（0,1,0，。。。，0）的所有线性组合构成Rn的一个2维子空间等。
       同样道理，可知对加法数乘都封闭。 。
    2010-12-21 16:55:59
  • 1.不知道你想问什么。没什么关系。子空间可以是这些基扩张的，也可以不是。 2.你是问三维空间下的一条直线？是的。 3.子空间是一组集合，包含于原空间，且有空间的性质（对数乘和加法封闭）。如果原空间是Rn，子空间在Rn之内，且对两种运算封闭，维度显然小于等于n。
    2010-12-20 07:23:03
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