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高一数学题已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg高一数学题

2011-03-05 15:36:31傈***
高一数学题.已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2)已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2). （1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式. （2）甲说：函数f(x)在区间[(a+1)^2,+∞]上是增函数；乙说：函数g(x)是减函数.如果甲乙只有一个人说对了，求a的取值范围. （3）在（2）的条件下，比较f(2)与3-lg2的大小 只要（2）（3）就行了~ 要过程~高一数学题已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg高一数学题.已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2)已知函数f(x)=?

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  •   已知函数f(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2)。 （1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式。 已知g(x)为奇函数，h(x)为偶函数 且，f(x)=g(x)+h(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2|……………………（1） 所以：g(-x)=-g(x)，f(-x)=f(x) 且，f(-x)=g(-x)+h(-x)=x^2-(a+1)x+lg(a+2) ===> -g(x)+h(x)=x^2-(a+1)x+lg(a+2)…………………………（2） (1)+(2)得到：2h(x)=2x^2+2lg|a+2| 所以，h(x)=x^2+lg|a+2| (1)-(2)得到：2g(x)=2(a+1)x 所以，g(x)=(a+1)x （2）甲说：函数f(x)在区间[(a+1)^2,+∞]上是增函数；乙说：函数g(x)是减函数。
      如果甲乙只有一个人说对了，求a的取值范围。
       f(x)=x^2+(a+1)x+lg|a+2|，它表示的是开口向上，对称轴为x=-(a+1)/2的抛物线 若甲说的是真的，即甲命题成立，那么： (a+1)^2≥-(a+1)/2 ===> (a+1)^2+(a+1)/2≥0 ===> (a+1)/2*[2(a+1)+1]≥0 ===> (a+1)/2*(2a+3)≥0 ===> a≥-1，或者a≤-3/2，且a≠-2 若乙命题为真，即g(x)=(a+1)x为减函数，那么：a+1＜0 所以，a＜-1 因为只有一个为真 所以，a≥-1 （3）在（2）的条件下，比较f(2)与3-lg2的大小 当a≥-1时 f(2)=4+2(a+1)+lg|a+2|=2a+6+lg|a+2| 那么，f(2)-(3-lg2)=2a+6+lg|a+2|-3+lg2 =2a+lg|a+2|+lg2+3 =2a+lg(a+2)+lg2+3 令函数t(a)=2a+lg(a+2)+lg2+3 那么，t'(a)=2+1/[(a+2)*ln10] 因为a≥-1，所以a+2＞0，且ln10＞0 所以，t'(a)＞0 即，函数t(a)为增函数 那么，当a≥-1时有最小值t(-1)=-2+lg2+3=lg2+1＞0 所以，t(a)＞lg2+1＞0 即，f(2)-(3-lg2)＞0 所以，f(2)＞3-lg2。
    2011-03-05 23:01:18
  •   解：（2） 由（1）可得g(x)=(a+1)x，h(x)=x^2+lg|a+2| 若函数f(x)在区间[(a+1)^2,+∞]上是增函数， 则必须满足f`(x)=2x+a+1>0，=> x> -0。5a-0。
      5 若函数g(x)是减函数，则必须满足g`(x)=a+1 a -0。5a-0。
      5 时，x>0,即在x>0的情况下，f(x)是增函数， 而区间[(a+1)^2,+∞]正好处于这一范围内，此时甲乙的说法都 成立，与题意相悖，所以a>=-1 (3)令z=f(2)-(3-lg2),则z=3+lg2+2a+lg(a+2),把a看成自变 量对z求导可得z`=2+1/(a+2) 因为a>=-1，所以z`=2+1/(a+2)>0，所以在a>=-1时，z为增 函数，当a=-1时，z有最小值1+lg2 所以在（2）的条件下，f(2)比3-lg2大 也许计算值有点错，但基本的思路就是这样的 。
    2011-03-05 16:27:05
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