百科知识

教育/科学

请教一道三角函数问题的证明方法在△ABC中，求证：（1）1＜co

2008-04-08 09:45:25d***
在△ABC中，求证： （1）1＜cosA＋cosB＋cosC≤3/2； （2）sinA＋sinB＋sinC≥sin2A＋sin2B＋sin2C.请教一道三角函数问题的证明方法在△ABC中，求证：（1）1＜cosA＋cosB＋cosC≤3/2；（2）sinA＋sinB＋sinC≥sin2A＋sin2B＋s?

最佳回答

  •   在△ABC中，求证： （1）1＜cosA＋cosB＋cosC≤3/2； （2）sinA＋sinB＋sinC≥sin2A＋sin2B＋sin2C。 此两题有许多证法，我仅提供一种[不算简洁仅供参考] 设R,r是三角形外接圆与内切圆半径，s是半周长。
      根据恒等式: cosA＋cosB＋cosC=(R+r)/R, sinA＋sinB＋sinC=s/R, sin2A＋sin2B＋sin2C=2s*r/R^2。 (1)等价于 R r>0, R>=2r[欧拉不等式]。显然成立。 (2)等价于 R>=2r[欧拉不等式]。
      显然成立。 上述两个不等式也可用三角变换证明 证法二 根据三角形三角恒等式: cosA＋cosB＋cosC=1+4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2); sin2A＋sin2B＋sin2C=4*sinA*sinB*sinC。
       (1)式转化为: 0<4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)≤1/2 (P) (P)式左边显然成立。设a,b,c为三角形ABC的三边长。 因为 cos[(B-C)/2]≤1,cos[(C-A)/2]≤1,cos[(A-B)/2]≤1。
       又 sin(A/2)/cos[(B-C)/2]=a/(b+c); sin(B/2)/cos[(C-A)/2]=b/(c+a); sin(C/2)/cos[(A-B)/2]=c/(a+b); 所以 sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)≤sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)/{cos[(B-C)/2]*cos[(C-A)/2]*cos[(A-B)/2]≤1}=abc/(b+c)*(c+a)*(a+b)≤1/8。
       故(P)式右边成立。
       据均值不等式 sinA＋sinB＋sinC≥3*[sinA*sinB*sinC]^(1/3)=3*[(sin2A＋sin2B＋sin2C)/4]^(1/3) 又sin2A＋sin2B＋sin2C≤sin[(2A+2B+2C)/3]=(3*√3)/2 所以sinA＋sinB＋sinC≥3*[(sin2A＋sin2B＋sin2C)/4]^(1/3) ≥sin2A＋sin2B＋sin2C 。
    2008-04-08 10:39:03
  • （1）cosA+cosB+cosC =2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cosC ≤2cos[(A+B)/2]]+cosC ≤2sin(C/2)+cosC =-2sin(C/2)^2+2sin(C/2)-1 =-2[sin(C/2)-1/2]^2+3/2 ≤3/2
    2008-04-08 10:34:30
    • 很赞哦！ (235)

    相关文章