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一道初中平面几何题三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，AD平分

2009-02-15 16:08:191***
三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，AD平分角A，交BC于D点，以AC为边向外做等边三角形ACE，连接BE，BE交AD于F，交AC于G，连接FC。 若FD=1，求BF的长。一道初中平面几何题三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，AD平分角A，交BC于D点，以AC为边向外做等边三角形ACE，连接BE，BE交AD于F，交AC于G，连接?

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  • 三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，AD平分角A，交BC于D点，以AC为边向外做等边三角形ACE，连接BE，BE交AD于F，交AC于G，连接FC。 若FD=1，求BF的长。 解 以BC为边向外做等边三角形BCH,连AH， ∵AB=AC,∴D,F上在AH上. ∵BC=CH，CE=AC,∠BCE=∠ACB+60°=∠HCA, ∴△BCE≌△HCA,∴∠BEC=∠HAC. ∴A,F,C,E四点共圆,∠AFC=120°. 同样可证 ∠AFB=120°. 所以∠BFC=120°. ∵F右BC的中垂线上,∴BF=CF, ∴∠FBC=∠FCB=(180-120)/2=30°. 在Rt△BDF中,FD=1,故BF=2.
    2009-02-16 16:36:19
  •   以上各位数学权威解的都很好！但我想现在初中已不学四战点共圆了，能否不用四点共圆进行证明呢？下面提供一种证明方法。 三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，AD平分角A，交BC于D点，以AC为边向外做等边三角形ACE，连接BE，BE交AD于F，交AC于G，连接FC。
       若FD=1，求BF的长。 证明： ∵△ABC中，AB=AC，AD平分角A，△ACE为等边三角形 易证BF=CF，∠1=∠2=∠3，AB=CE， ∵AF△ABG的内角平分线， ∴AG/BG=AB/BF-----（三角形内角平分线性质） =CE/CF， 又∠AGF=∠2+∠CAE=∠3+∠ACE=∠ECF， ∴△AGF～△ECF， ∴∠AFG=∠EFC=∠BFD=∠CFD， ∴∠EFC=∠BFD=∠CFD=60°， ∴BF=2DF=2。
       其实还可简单些： ∵∠2=∠3， ∴△AGF～△FGC， ∴∠GFC=∠GAE=60°！ 。
    2009-02-18 19:04:41
  • 三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，AD平分角A，交BC于D点，以AC为边向外做等边三角形ACE，连接BE，BE交AD于F，交AC于G，连接FC。 若FD=1，求BF的长。 解 以BC为边向外做等边三角形BCH,连AH， ∵AB=AC,∴D,F上在AH上. ∵BC=CH，CE=AC,∠BCE=∠ACB+60°=∠HCA, ∴△BCE≌△HCA,∴∠BEC=∠HAC. ∴A,F,C,E四点共圆,∠AFC=120°. 同样可证 ∠AFB=120°. 所以∠BFC=120°. ∵F右BC的中垂线上,∴BF=CF, ∴∠FBC=∠FCB=(180-120)/2=30°. 在Rt△BDF中,FD=1,故BF=2.
    2009-02-16 22:09:21
  • 三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，AD平分角A，交BC于D点，以AC为边向外做等边三角形ACE，连接BE，BE交AD于F，交AC于G，连接FC。 若FD=1，求BF的长。 解 因为三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是∠A的平分线，则根据正等角中心的定义[∠A小于120时,也可称为费马点]，点F是等腰三角形的正等角中心，即∠BFC=120°. 故得∠FBC=∠FCB=30° ∵FD=1,∴BF=CF=2.
    2009-02-15 18:56:22
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