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高一对数问题已知a、b是关于方程4lg^2x-2mlgx^2+m

2005-02-19 17:05:35t***
已知a、b是关于方程4lg^2x-2mlgx^2+m+2=0的两根（m是实数），试求lgb/lga+lga/lgb的范围高一对数问题已知a、b是关于方程4lg^2x-2mlgx^2+m+2=0的两根（m是实数），试求lgb/lga+lga/lgb的范围：已知方程就是4(lgx)^?

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  • 已知方程就是4(lgx)^2-4mlgx+(m+2)=0.这可看作一个关于lgx的一元二次方程，由已知条件可知，lga、lgb是这个一元二次方程的两个根.所以，有lga+lgb=m, lga*lgb=(m+2)/4. 设t=lgb/lga+lga/lgb,则 t=[(lga+lgb)^2-2lga*lgb]/(lga*lgb)=[m^2-(m+2)/2]/[(m+2)/4] =(4m^2-2m-4)/(m+2). 去分母，整理，得 4m^2-(t+2)m-(2t+4)=0.(m≠-2) ∵m是实数, ∴这个关于m的一元二次方程的判别式Δ≥0, 即[-(t+2)]^2-4*4*[-(2t+4)]≥0, 解之，得t≥-2,或t≤-32.
    2005-02-19 18:21:38
  •   a,b是方程4(lgx)^2-2m*2lgx+m+2=0的两根， 那么lga,lgb就是方程4t^2-4mt+m+2=0的两根。 根据维达定理，有lga+lgb=-(-4m)/4=m;lga*lgb=(m+2)/4。 lgb/lga+lga/lgb=[(lga)^2+(lgb)^2]/(lga*lgb) =[(lga+lgb)^2-2lga*lgb]/(lga*lgb) =[m^2-(m+2)/2]/[(m+2)/4] =(4m^2-2m-4)/m+2。
       令y=(4m^2-2m-4)/(m+2)。下面用反函数法（判别式法），求这个函数的值域。 去分母，整理得：4m^2-(y+2)m-(2y+4)=0。 方程的△＝(y+2)^2-4(-2y-4)=y^2+12y+20。 由△>=0得到:y==-2。
       所以lgb/lga+lga/lgb的范围是(-无穷大,-10)并(-2,+无穷大)。
    2005-02-19 17:55:12
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