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问一道关于三角形边长的题目急!若三角形ABC的三边长分别为a,b

2007-06-12 20:58:00
若三角形ABC的三边长分别为a,b,c,而且a,b,c满足等式 3(a的平方+b的平方+c的平方)=(a+b+c)的平方 试说明该三角形是等边三角形问一道关于三角形边长的题目急!若三角形ABC的三边长分别为a,b,c,而且a,b,c满足等式3(a的平方+b的平方+c的平方)=(a+b+c)的平方试说明该三角?

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  •   因为3(a的平方+b的平方+c的平方)=(a+b+c)的平方 所以3a^2 + 3b^2 +3c^2 = ((a+b) + c )^2 3a^2 + 3b^2 +3c^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 3a^2 + 3b^2 +3c^2 = a^2 + 2ab + c^2 + 2ac + 2bc + c^2 2a^2 + 2b^2 +2c^2 = 2ab + 2ac + 2bc a^2 + b^2 -2ab + a^2 + c^2 -2ac + b^2 + c^2 - 2bc = 0 (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 = 0 因为(a-b)^2>0 ,(a-c)^2>0,(b-c)^2>0 所以 (a-b)^2=0 ,(a-c)^2=0,(b-c)^2=0 所以a=b=c 所以该三角形是等边三角形 。
      
    2007-06-12 21:10:00
  • 解：3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2 --->3(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) --->2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=0 --->(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0 --->(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 因为(a-b)^2>=0,(b-c)^2>=0,(c-a)^2>=0.当仅当a=b=c时,三者的和才可能等于0，所以a=b=c。 就是说△ABC是等边三角形。
    2007-06-12 21:10:26
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