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已知数列an的前n项和为Sn,已知a1=a,a(n+1)=2Sn?

2009-08-02 11:41:431***
已知数列an的前n项和为Sn,已知a1=a,a(n+1)=2Sn+4^n(N为正整数)（1）设bn=Sn-4^n，求证：数列bn是等比数列 （2）若a＝1，求数列an的前n项和Sn （3）若a(n+1)≥an,n为正整数，求实数a的取值范围 已知数列an的前n项和为Sn,已知a1=a,a(n+1)=2Sn+4^n(N为正整数)（1）设bn=Sn-4^n，求证：数列bn是等比数列（2）若a＝1，求数列?

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  •   (1) a1=a a2=2S1+4^1=2a+4 a(n+1)=2S(n)+4^n a(n)=2S(n-1)+4^(n-1),n>=2 a(n+1)-a(n)=2a(n)+3*4^(n-1) a(n+1)=3a(n)+3*4^(n-1) a(n+1)-3*4^n=3[a(n)-3*4^(n-1)] {a(n)-3*4^(n-1)}是等比数列,首项a2-12=2a-8,公比3 a(n)-3*4^(n-1)=(2a-8)*3^(n-2) a(n)=3*4^(n-1)+(2a-8)*3^(n-2) n>=2 S(n)=a+3[4+4^2+4^3+。
      。。+4^(n-1)]+(2a-8)(1+3+3^2+3^3+。。。
      +3^(n-2)] =a+[4^n-4]+(a-4)[3^(n-1)-1] =4^n+(a-4)*3^(n-1) 当n=1,S(1)=a也适合 ∴S(n)=4^n+(a-4)*3^(n-1) b(n)=S(n)-4^n=(a-4)*3^(n-1)显然是等比数列 (2) 由(1)知 S(n)=4^n+(a-4)*3^(n-1)=4^n-3^n (3) a1=a a2=2a+4 a2>=a1,2a+4>=a,a>=-4 n>=2 a(n)=3*4^(n-1)+(2a-8)*3^(n-2) a(n+1)=3*4^n+(2a-8)*3^(n-1) a(n+1)>=a(n) 3*4^n+(2a-8)*3^(n-1)>=3*4^(n-1)+(2a-8)*3^(n-2) 9*4^(n-1)+4(a-4)*3^(n-2)>=0 a-4>=-9*4^(n-2)/3^(n-2)=-9*(4/3)^(n-2) -9*(4/3)^(n-2)是减函数,故只需满足 a-4>=-9(4/3)^(2-2)=-9,a>=-5 ∴a>=-4。
    2009-08-11 15:08:10
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