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设a、b、c∈R+,求证:b^3/(a^2+bc)+c^3/(b

2011-05-26 13:48:20s***
b^3/(a^2+bc)+c^3/(b^2+ca)+a^3/(c^2+ab)≥(a+b+c)/9.设a、b、c∈R+,求证:b^3/(a^2+bc)+c^3/(b^2+ca)+a^3/(c^2+ab)≥(a+b+c)/9.：b^3/(a^2+bc)+c^3/?

最佳回答

  •   b^3/(a^2+bc)+c^3/(b^2+ca)+a^3/(c^2+ab） =b^4/(a^2*b+b^2*c)+c^4/(b^2*c+c^2*a)+a^4/(c^2*a+a^2*b) ≥(a^2+b^2+c^2)^2/[(a^2*b+b^2*c)+(b^2*c+c^2*a)+(c^2*a+a^2*b)] 只需证明:(a^2+b^2+c^2)^2≥ [(a^2*b+b^2*c)+(b^2*c+c^2*a)+(c^2*a+a^2*b)]*(a+b+c)/2 a^4+b^4+c^4+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2≥ a^3*b+b^3*c+c^3*a+a^2*bc+b^2*ca+c^2*ab （*） 由排序不等式易证：（1),a^4+b^4+c^4≥a^3*b+b^3*c+c^3*a (2),(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2≥ab*ac+bc*ba+ca*cb =a^2*bc+b^2*ca+c^2*ab (1)+(2)=>(*) ∴原命题成立 。
      
    2011-05-26 19:47:46
  • 题目应该改改，应该是(a+b+c)/2才好 由柯西不等式有： b^3/(a^2+bc)+c^3/(b^2+ca)+a^3/(c^2+ab)≥(a^2+b^2+c^2)^2/(b(a^2+bc)+c(b^2+ca)+a(c^2+ab)) 于是只需要证明:(a^2+b^2+c^2)^2/(b(a^2+bc)+c(b^2+ca)+a(c^2+ab))>=(a+b+c)/2 由对称性不妨设a=max(a,b,c) 可以是如下分拆 (2a^2+(b+c)a+(b-c)^2+2b^2+2c^2)(a-b)(a-c)+2(b-c)^2(b^2+c^2+ab+ac)>=0
    2011-05-26 18:07:34
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