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在三角形ABC中,如图证：AF/BF*BD/DC*CE/EA=1

2007-04-14 18:24:26魔***
在三角形ABC中,如图 证：AF/BF*BD/DC*CE/EA=1在三角形ABC中,如图证：AF/BF*BD/DC*CE/EA=1：本题按你图字母来看结论无规律性，我看错了，应为求证： AD/DB*BE/EC*CF/FA=1?

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  • 本题按你图字母来看结论无规律性，我看错了，应为求证： AD/DB*BE/EC*CF/FA=1，相比练段重叠在一直线上，可用平行线型相似三角形进行证明，不需要用梅涅劳斯（Menelaus）定理也可证明，十分简单。（请等一会儿，我要上图） 证明：过O作△ABC三边的平行线GH，KL，MN分别与△ASBC三边交点如图， 易证BE/GO=AE/AO=EC/OH， ∴BE/EC=OG/OH，同理 CF/FA=OK/OL，AD/DB=OM/ON， ∴AD/DB*BE/EC*CF/FA=OM/ON*OG/OH*OK/OL， 易证△OGL～△KNO～△HOM， ∴OM/ON=OH/NK，OK/OL=NK/OG， ∴AD/DB*BE/EC*CF/FA=OM/ON*OG/OH*OK/OL =OH/NK*OG/OH*NK/OG=1
    2007-04-14 20:06:38
  • 过A作MN//BC,CF,BE延长线交MN于M,N MN//BC==>AF/BF=AM/BC,CE/EA=BC/AN ==>AF/BF*CE/EA=AM/BC*BC/AN=AM/AN MN//BC==>AM/DC=AO/DO,AN/BD=AO/DO ==>AM/DC=AN/BD==>BD/DC=AN/AM ==>AM/BC*BD/DC*BC/AN=1
    2007-04-14 20:08:37
  • 这是梅涅劳斯（Menelaus）定理 如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。 证明： 过点A作AG‖BC交DF的延长线于G AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得： AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 你的题目出错了，D和F标错位置了
    2007-04-14 18:42:08
  • 由于是几何题证起来不好表述.建议你去图书馆,随便找一本数学竞赛的书,在目录里寻找"线共点"问题,或者在目录中查找"塞瓦定理",知道这个定理就好办了>简述:在三角形ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB边上(或其延长线上)的点,如果有(AF/BF)*(BD/DC)*(CE/EA)=1成立,那么AD,BE,CF三条线交于一点.定理的具体证明方法可以用同一法,你还是找本书看吧,应该是很容易的.注:*表示相乘 自己看，图片不能显示 塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点， AB、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴ ① 而由△ABD被直线COF所截，∴ ② （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 同理 ④ ⑤ ③×④×⑤得 参考资料：
    2007-04-14 18:31:46
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