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椭圆弦的中点问题

2019-03-12 11:18:47没***
椭圆(x^2)/9+(y^2)/4=1,直线l过（0，3），与椭圆交于A，B两点，弦AB中点为c，求C的轨迹方程椭圆弦的中点问题,椭圆(x^2)/9+(y^2)/4=1,直线l过（0，3），与椭圆交于A，B两点，弦AB中点为c，求C

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  • 我的解答如下：
    2019-03-12 11:50:49
  • 椭圆4x^2+9y^2=36,设直线y=kx+3,代入椭圆方程 得(9k^2+4)x+54kx+45=0(*) △=(54k)^2-180(9k^2+4)≥0，|k|≥(√5)/3 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-54k/(9k^2+4) y1+y2=k(x1+x2)+6 设弦AB中点C(x,y),则x=(x1+x2)/2=-27k/(9k^2+4)(**) y=kx+3,k=(y-3)/x代入(**) x=-27[(y-3)/x]/[9(y-3)^2/x^2+4] 化简得4x^2+9(y-3)^2+27(y-3)=0,4x^2+9(y-3/2)=81/4 x^2/(81/16)+(y-3/2)^2/(9/4)=1 其中-√5≤x≤√5. 以(0,3/2)为中心的椭圆的一部分.
    2019-03-12 11:39:01
  • 有一种方法是这样的: x^2/9+y^2/4=1 两边求导 2x/9+2y/4*y'=0 y'=-(4x)/(9y) 设C(x,y) AB斜率:-(4x)/(9y) 设(0,3)为P,则: PC斜率:(y-3)/x ∴-(4x)/(9y)=(y-3)/x C轨迹方程: 4x^2+9y^2-27y=0 (在椭圆x^2/9+y^2/4=1内部分) 其实也没什么高级,理解导数的几何意义以及变换的规律就不难理解了
    2019-03-12 11:19:48
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