故意伤害罪双方都构成轻微伤

可能的。根据我国《刑法》的有关规定，故意伤害致人轻伤的，可能构成故意伤害罪，起刑点是在二年以下有期徒刑。
《中华人民共和国刑法》
第二百三十四条故意伤害罪
故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。