百科知识

教育/科学

证明平均不等式证明几个数(正实数)的调和平均数小于等于它的几何平

2008-07-19 20:35:45y***
证明几个数(正实数)的调和平均数小于等于它的几何平均数小于等于它的算术平均数小于等于它的平方平均数.有11种证明方法,拜托哪位可以给出至少一种证明方式!拜托了!证明平均不等式证明几个数(正实数)的调和平均数小于等于它的几何平均数小于等于它的算术平均数小于等于它的平方平均数.有11种证明方法,拜托哪位可以给出至少一种证明?

最佳回答

  •   证明几个数(正实数)的调和平均数小于等于它的几何平均数小于等于它的算术平均数小于等于它的平方平均数。有11种证明方法,拜托哪位可以给出至少一种证明方式!拜托了! 两元的我给出两种几何证法。供参考！ 设a，b是两个正数，M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b)分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均，证明: M2≥A≥G≥H。
       证明(一) 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。 如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么 E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。
       如果E2F2分梯形的中位线，那么 E2F2=(a+b)/2。 如果E3F3分梯形为两相似图形，那么 E3F3=√(ab)。 如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么 E4F4=2/(1/a+1/b)。 从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。
       证法(二) 在直线X上取CD=a，DE=b，设a≥b，以CD，DE为边，在直线X同侧作正方形DABC和正方形DGFE，显然G在线段DA上。 正方形DABC的对角线BD与AC交于P，正方形DGFE的对角线DF与EG交于Q，连PQ。过P作PP’⊥CD交CD于P’ ，过Q作QQ’⊥DE交DE于Q’ 。
      显然P’ 是CD的中点，Q’ 是DE的中点， 取CE的中点O，以O为圆心，直径为CE画圆，交DA于K。连BF交DA于I。 下面来求M2=PQ，A=P’Q’ =KO，G=KD，H=DI。 因为CD=a，DE=b，则DP=a√(1/2), DQ=b√(1/2) 。
       在Rt△PDQ中, 由勾股定理求得:PQ=√[(a^2+b^2)/2] 而P’Q’=DP’+DQ’=(CD+DE)/2=(a+b)/2。 在Rt△CKE中，KD^2=CD*DE=ab， KD=√ab。 在Rt△BDF中，DI是∠BDF的角平分线，ID*BD*sin45°+ID*DF*sin45°=BD*DF ID*(a+b)=2ab ID=2ab/(a+b)。
       在直角梯形QQ’P’P中，显然直角腰P’Qp不大于另一腰PQ，即M2≥A。 在Rt△KDO中，显然斜边KO不小于直角边DK，，即A≥G。 在直角梯形FECB中，因为CE=EF+BC，所以以CE为半径直角腰中点O为圆心的圆的必与另一腰交于两点，故DI不大于DK，即G≥H。
       实际上从作图中可看出:PQ≥P’Q’=OK≥DK≥DI。 我们选定三元为例 设a，b,c是三个正数，M3=[(a^3+b^3+c^3)/3]^(1/3)，A=(a+b+c)/3，G=(abc)^(1/3)，H3=3/(1/a+1/b+1/c)分别表示a，b,c三元的三次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均， 求证: M3≥A≥G≥H3。
       (1) 证明 先证 [(a^3+b^3+c^3)/3]^(1/3)≥(a+b+c)/3 (2) 记T=(a^3+b^3+c^3)/3-[(a+b+c)/3 ]^3 27T=9(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)^3=8Σa^3-3Σbc(b+c)-6abc =4Σ(b+c)*(b-c)^2+Σa(b-c)^2。
       显然27T≥0 再证 (a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)。 记S=[(a+b+c)/3]^3-abc)。 27S=(a+b+c)^3-27abc≥0为显然。
       最后证 (abc)^(1/3)≥3/(1/a+1/b+1/c) 记 U=abc-[3/(1/a+1/b+1/c)]^3 U=abc-[3abc/(bc+ca+bc)]^3 U*abc(bc+ca+ab)^3=(bc+ca+ab)^3-27(abc)^2≥0为显然。
    2008-07-19 20:57:47
    • 很赞哦！ (289)

    相关文章