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如图过抛物线Ex^2=4y的焦点作斜率分别是k1如图，过抛物线E

2011-10-21 22:45:182***
如图，过抛物线E：x^2=4y的焦点作斜率分别是k1、k2的直线l1、l2交抛物线E于A（x1，y1）D（x4，y4）B（x2,y2）C（x3,y3）. （1）k1×k2=-1，求四边形的ACDB的面积S的最小值 （2）若k1×k2=1，是否存在实数入，使|AB|+|BC|=入|AD|×|BC|恒成立，若存在，求出入得值：若不存在，请说明理由。如图过抛物线Ex^2=4y的焦点作斜率分别是k1如图，过抛物线E：x^2=4y的焦点作斜率分别是k1、k2的直线l1、l2交抛物线E于A（x1，y1）D（x4，?

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  •   你的（2）可能是…… 使|AD|+|BC|=入|AD|×|BC|恒成立，…… 本题需要的三个命题 1、直线y=kx+b上两点P（x1,y1),Q(x2,y2)间的距离 PQ=[sqrt(1+k^2)]*|x1-x2|。 因为P、Q在y=kx+b上， 所以 y1=kx1+b， y2=kx2+b， y1-y2=k(x1-x2) PQ=sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] =sqrt[x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2] =sqrt[1+k^2)(x1-x2)^2] =[sqrt(1+k^2)]*|x1-x2|。
       2、一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根x1,x2, |x1-x2|=[sqrt(b^2-4ac)]/|a| 用求根公式证明（最快），或根与系数的关系证明。 3、四边形ABCD的面积=（1/2)*AC*BDsinα,其中AC，BD为对角线，α为对角线的夹角。
       注意：一对角线把四边形分为两个三角形。 后面两个请你自己证明了。 解：（1）焦点F(0,1) 过焦点的直线为 l1: y=k1x+1 与抛物线的交点A、D l2: y=k2x+1 与抛物线的交点B、C 由l1与抛物线的交点 x^2=4kx+4 x^2-4kx-4=0 Δ=b^2-4ac=16k^2+16=16(k^2+1) 利用命题1， |AD|=[sqrt(1+k1)^2]*|x1-x4|, 利用命题2， |x1-x4|=[sqrt[16(k1^2+1）]=4sqrt(k1^2+1) AD=[sqrt(1+k1^2)]*|x1-x4|=4(1+k1^2), 同理|BC|=4（1+k2^2) 因为k1*k2=-1,所以l1与l2垂直，即夹角为90度， 利用命题3，四边形的面积 S=（1/2）|AD|*|BC| =（1/2）*16（1+k1^2)(1+k2^2) =8[1+k1^2+k2^2+(k1*k2)^2] ≥8(1+ 2|k1*k2|+1) =8(1+2+1) =32。
       (2)。因为k1*k2=1 (|AD|+|BC|)/(|AD|*|BC|) (4+4k1^2+4+4k2^2)/[16[1+k1^2+k2^2+(k1*k2)^2] =4(2+k1^2+k2^2)/[16(2+k1^2+k2^2) =1/4 所以 |AD|+|BC|=（1/4）|AD|*|BC| 所以存在λ=1/4使 |AB|+|BC|=入|AD|×|BC|恒成立。
       附记：这里给出的三个命题用在填空题、选择题时可较快求得结果，请记之。
    2011-10-22 17:16:25
  •   抛物线E：x^2=4y①的焦点为F(0,1), AD:y=k1x+1,代入①得 x^2-4k1x-4=0, △1=16（k1^2+1), |AD|=√△1*√（1+k1^2)=4(k1^2+1), 同理，|BC|=4(k2^2+1), k1k2=-1, ∴AD⊥BC, ∴四边形的ACDB的面积S=|AD|*|BC|/2=8(k1^2+1)(k2^2+1) =8[(k1k2)^2+k1^2+k2^2+1] =8(k1^2+k2^2+2) >=8(-2k1k2+2)=32, 当k1=-k2=土1时取等号， ∴所求最小值=32。
       （2）k1k2=1时|AD|*|BC|=16(k1^2+1)^2/k1^2 |AB|+|BC|=入|AD|×|BC|， λ={√[(x1-x2)^2+(x1^2/4-x2^2/4)^2]+4(k1^2+1)/k1^2}/[16(k1^2+1)^2/k1^2], x1,x2是独立于k1的变量， ∴λ不可能是常数。
       ∴满足题设的常数λ不存在。 。
    2011-10-22 16:19:04
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