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圆的内接五边形的作图及证明尺规作图:作一个已知圆的内接正五边形,

2006-06-27 15:19:50碧***
尺规作图:作一个已知圆的内接正五边形,请写明步骤,并证明其结果为正五边形!圆的内接五边形的作图及证明尺规作图:作一个已知圆的内接正五边形,请写明步骤,并证明其结果为正五边形!：在半径为1的圆O内作互相垂直的两条直径PQ和AM 作OQ?

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  •   在半径为1的圆O内作互相垂直的两条直径PQ和AM 作OQ的垂直平分线交OQ于R 以R为圆心,QA为半径画弧交OP于H AH就是这圆内接正五边形的边长。 以A为圆心,AH为半径画弧交圆于B,E两点, 分别以B,E为圆心,AH为半径画弧交圆于C,D, 顺次连结ABCDEA,五边形ABCDE就是所要画的正五边形。
       证明过程比较麻烦,等一会儿再证。
       先证AH=√[(5-√5)/2] 由作图可知: OR=1/2, RA=(1/2)√5, RH=RA=(1/2)√5, OH=(√5-1)/2, OA=1 ∴AH=√[(5-√5)/2] 再证cos72°=(√5-1)/4 设a=36°,2a=72°,3a=108°,sin3a=sin2a sin3a=sin2acosa+cos2asina=……=3sina-4(sina)^3 sin2a=2sinacosa 3sina-4(sina)^3=2sinacosa, 3-4(sina)2=2cosa 4(cosa)^2-2cosa-1=0, cosa>0, ∴cosa=(√5+1)/4 cos2a=2(cosa)^2-1=(√5-1)/4, ∴cos72°=(√5-1)/4 证明∠AOB=70° △AOB中，OA=OB=1，AB=AH=√[(5-√5)/2] 由余弦定理，cosAOB=(1+1-[(5-√5)/2])/2=(√5-1)/4=cos72° ∴∠AOB=72° 最后证明五边形ABCDE是正五边形 由AB=AE=BC=ED可知， ∠AOB=∠AOE=∠BOC=∠EOD=72° ∴∠COD=360°-4*72°=72° A，B，C,D,E将圆五等分 ∴五边形ABCDE是正五边形 证明完毕 请仔细阅读，欢迎指正。
    2006-06-27 19:25:06
  • 1、选定圆心O，以R为半径画圆。 2、在圆上任取一点A，以点A为圆心，以r = 2πR/5为半径在圆O上画弧，交B、E两点，再分别以B、E为圆心，r为半径画弧，分别交圆O于C、D点。 3、顺序连接AB、BC、CD、DE、EA，这就是所求的正五边形。 证明:分别连接OA、OB、OC、OD、OE，它们的长度都等于圆O的半径R，已知 AB = BC = CD = DE = EA，所以三角形OAB、OBC、OCD、ODE、OEA的边长是对应相等的，同时，它们还是等腰三角形，故各个低角也对应相等，而五边形ABCDE的内角都是等腰三角形的两个低角之和，因此，五边形ABCDE的五个内角也相等。也就是说，五边形的各个边相等，各个角也相等，所以该五边形是正五边形。
    2006-06-27 16:44:35
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