立体几何问题在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q分别是
2018-05-25 15:52:55宁***
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P、Q分别是A1C、AB的中点。
（1）求证：PQ∥平面AA1D1D；
（2）设M、N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证：MN∥A1C。
立体几何问题在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P、Q分别是A1C、AB的中点。（1）求证：PQ∥平面AA1D1D；（2）设M、N分别为B1D1与C1D上的?
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证明：(1) 如图,设O为AC的中点,∵ P为A1C的中点,Q为AB的中点,∴ OP∥AA1,∴ OP∥面AA1D1D,OQ∥AD,∴ OQ∥面AA1D1D,而OP∩OQ=0,∴ 面OPQ∥面AA1D1D,而PQ在面OPQ内，∴ PQ∥面AA1D1D
(2) ∵A1D1⊥面CDDC1,C1D1⊥C1D⊥CD1，由三垂线定理C1D⊥A1C，同理A1B1⊥面BCC1B1,B1C⊥BC1，∴BC⊥A1C,而BC1∩C1D=C1，∴A1C⊥面BC1D，由已知，MN⊥B1D1，而B1D1∥BD,∴MN⊥BD，MNC1D，而BD∩C1D=D,∴ ∴MN⊥面BC1D，∴ MN∥A1C
2018-05-25 17:43:55
1. 连接D1B与A1C交于P连接AD1在三角形AD1B和BQP中由两边比值得QP//AD1
2.
2.1 在三角形A1CC1中由B1D1垂直A1C1,B1D1垂直CC1的 B1D1垂直面A1CC1,得A1C垂直 B1D1
2.2同理在三角形A1D1C中证明A1C垂直C1D
由以知MN⊥B1D1,MN⊥C1D
得MN∥A1C
2018-05-25 16:32:55
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