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求函数h(x,y,z)的最大值与最小值设x,y,z为实数，满足:

2009-07-01 16:55:021***
设x,y,z为实数，满足:x+y+z=0.求函数 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9) 的最大值与最小值 求函数h(x,y,z)的最大值与最小值设x,y,z为实数，满足:x+y+z=0.求函数h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+?

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  •   设x,y,z为实数，√3-1≥x,y,z≥-1，且满足:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=0。求函数 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9) 的最大值与最小值。 解 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9) =√[8(x+1)^2+1]+√[8(y+1)^2+1]+√[8(z+1)^2+1] 令(x+1)^2=a,(y+1)^2=b,(z+1)^2=c。
       ∵√3-1≥x,y,z≥-1,∴3≥a,b,c≥0 再由题设条件:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=0 ∴a+b+c=3 那么转化为:a,b,c为非负实数,且a+b+c=3,求函数 h(a,b,c)=√[8a+1]+√[8b+1]+√[8c+1] 的最大值与最小值。
       由A-G不等式得: [h(a,b,c)]^2≤3[8a+1+8b+1+8c+1]=3[8(a+b+c)+3]=81。 ∴f(a,b,c)≤9。 故h(x,y,z)的最大值为9。 由柯西不等式得: 3[h(a,b,c)]^2=[√(25a+b+c)+√(25b+c+a)+√(25c+a+b)]^2 =27(a+b+c)+2√[(25b+c+a)(25c+a+b)] +2√[(25c+a+b)(25a+b+c)]+2√[(25a+b+c)(25b+c+a)] ≥27*6+2[(5b+5c+a)+(5c+5a+b)+(5a+5b+c)] =27*6+22*6=49*6 ∴[h(a,b,c)]^2≥49,f(a,b,c)≥7。
       故h(x,y,z)的最小值为7。 。
    2009-07-03 11:52:47
  • 两点说明： 1、限于篇幅，解方程组的过程没有办法详细写了； 2、函数具有对称性，由方程组求得的驻点的坐标是可以任意排列的，为节省篇幅，只写了其中一个作为代表。 解答如下：
    2009-07-03 02:10:26
  • 各位有没有搞错阿。 本题最大值是9，见附件。感觉最小值是7，但没能证明出来。
    2009-07-02 22:36:53
  •   设x,y,z为实数，满足:x+y+z=0。求函数 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9) 的最大值与最小值 解 取z=0,y=-x,并令x→∞,则易知h(x,y,z)→+∞, 因此,h(x,y,z)=√(8(x+1)^2+1)+√(8(y+1)^2+1)+3的最大值不存在。
       下面求最小值。由柯西不等式得 9*(8x^2+16x+9)=[(2√2))^2+1]*[(2√2*(x+1))^2+1] ≥(8(x+1)+1)^2, 即 8x^2+16x+9≥(8(x+1)+1)^2/9 所以 √(8x^2+16x+9)≥(8(x+1)+1)/3=8x/3+3, 同理 √(8y^2+16y+9)≥8y/3+3,√(8z^2+16z+9)≥8z/3+3, 于是 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9)≥8(x+y+z)x/3+9=9。
       上式中的等号当且仅当x=y=z=0时取到,因此h(x,y,z)的最小值是9。
    2009-07-01 23:50:18
  • 将原函数各项项根号内配方后将h(x,y,z)平方,并将条件式变换x+y+z=0 (x+1)+(y+1)+(z+1)=3,再用柯西不等式可求得h(x,y,z)|min=9,但太长,我手机实在无法表达啊!
    2009-07-01 20:22:23
  • 修改的回答，见附件！！没仔细检查，有问题明天来过！！还有一个，也明天吧！！
    2009-07-01 18:40:41
  • 拉格朗日乘子法： 令F=h+a*(x+y+z),然后分别对 x,y,z求导令其等于0. 列出三个方程，再加上x+y+z=0,共四个方程，可解出四个未知量：x,y,z,a.不想做啊，但分挺诱人。 _________________________ 最大值没有，简单点来看： h(x,y,z)=开根号[(4x+1)^2+8]+开根号[(4y+1)^2+8]+开根号[(4z+1)^2+8] 最大值显然没有，最小值是什么呢？直接用对称法，x,y,z三个是对称的，则取同样值时才能保证取极值。(我求极值时常用此法) 而x,y,z相等，于是有x=y=z=0; 故最小值为9. ____________________________做错了，式子都写错。唉，老了，不做了。这样的大一题目，做了意义不大啊。
    2009-07-01 17:06:47
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