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直线x+y=1交椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1于A、B两?

2011-03-06 20:59:089***
若|AB|=2根2,直线OC斜率k=1/根2,求椭圆方程.直线x+y=1交椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1于A、B两点,C是线段AB的中点,若|AB|=2根2,直线OC斜率k=1/根2,求椭圆方程.：解: 记1?

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  •   解: 记1/a^2=α,1/b^2=β,将y=1-x代入椭圆αx^2+βy^2=1,得 (α+β)x^2-2βx+(β-1)=0。 设A、B两点坐标为A(x1,x2)、B(x2,y2),则 x1+x2=2β/(α+β),x1x2=(β-1)/(α+β), 所以, |AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 =2(x1-x2)^2 =2[(X1+x2)^2-4x1x2] =8(α+β-αβ)/(α+β)^2, 由|AB|=2根2,得(α+β-αβ)/(α+β)^2=1 即α^2+2αβ+β^2-α-β=0 …… (1)。
       设点C(x0,y0),则 x0=(x1+x2)/2=β/(α+β),y0=1-x0=α/(α+β), 由k=1/根2,得x0/y0=根2, 所以,β=(根2)α …… (2) 由(1)、(2)式得,α=1/3,β=(根2)/3。 所以椭圆方程为x^2/3+(根2)y^2/3=1。
      
    2011-03-07 13:54:03
  •   直线x+y=1交椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1于A、B两点,C是线段AB的中点,若|AB|=2根2,直线OC斜率k=1/根2,求椭圆方程。
       椭圆为：b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0 联立直线与椭圆方程得到： b^2*x^2+a^2*(1-x)^2-a^2b^2=0 ===> b^2*x^2+a^2*(x^2-2x+1)-a^2b^2=0 ===> b^2*x^2+a^2*x^2-2a^2*x+(a^2-a^2b^2)=0 ===> (a^2+b^2)x^2-2a^2*x+(a^2-a^2*b^2)=0 所以由根与系数的关系得到： x1+x2=2a^2/(a^2+b^2) x1*x2=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2) 那么，(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2 =[2a^2/(a^2+b^2)]^2-4(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2) =[4a^4/(a^2+b^2)^2]-[4a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)] =[4a^4-4a^2(1-b^2)*(a^2+b^2)]/(a^2+b^2)^2 =[4a^4-4a^2(a^2+b^2-a^2b^2-b^4)]/(a^2+b^2)^2 =[4a^4-4a^4-4a^2b^2+4a^4b^2+4a^2b^4]/(a^2+b^2)^2 =4a^2b^2(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2 而，y1=1-x1，y2=1-x2 所以，(y1-y2)^2=[(1-x1)-(1-x2)]^2=(x1-x2)^2 又，|AB|=2√2 即，√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√2*√(x1-x2)^2=2√2 ===> √(x1-x2)^2=2 ===> (x1-x2)^2=4 ===> 4a^2b^2(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=4 ===> a^2b^2(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2……………………………（1） 且，(x1+x2)/2=a^2/(a^2+b^2) (y1+y2)/2=[(1-x1)+(1-x2)]/2=1-[(x1+x2)/2]=1-[a^2/(a^2+b^2)]=b^2/(a^2+b^2) 已知AB中点C与原点O连线的斜率k=1/√2 即，y/x=[b^2/(a^2+b^2)]/[a^2/(a^2+b^2)]=1/√2 ===> b^2/a^2=1/√2 ===> a^2=√2b^2……………………………………………………（2） 联立(1)(2)得到：√2b^2*b^2*(√2b^2+b^2-1)=(√2b^2+b^2)^2 ===> √2b^4*[(√2+1)b^2-1]=b^4*(√2+1)^2 ===> √2*[(√2+1)b^2-1]=(√2+1)^2=(3+2√2) ===> √2*(√2+1)b^2=√2+3+2√2 ===> √2*(√2+1)b^2=3(√2+1) ===> √2b^2=3 ===> b^2=3/√2 代入(2)得到：a^2=√2b^2=√2*(3/√2)=3 所以双曲线方程为：x^2/3+y^2/(3/√2)=1。
    2011-03-07 01:46:24
  •   C坐标：(x0,y0), A为(x1,y1) B(x2,y2) C在线AB上，所以：x0+y0=1， OC斜率为 y0/x0=k=1/根2 可求得 x0, y0,从而得到x1+x2=2x0, y1+y2=2y0 4=|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 =(x1+x2)^2+(y1+y2)^2-4(x1x2+y1y2) 另 ： y1=1-x1代人椭圆方程得到： (1/a^2+1/b^2)x^2-2x/b^2+1/b^2-1=0 所以 x1+x2=(2/b^2)/(1/a^2+1/b^2)=2/(b^2/a^2+1) x1x2=(1/b^2-1)/(1/a^2+1/b^2)=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2) 类似的得到 y1+y2=(2/b^2)/(1/a^2+1/b^2)=2/(a^2/b^2+1) y1y2=b^2(1-a^2)/(a^2+b^2) 有上述条件可求得 a^2,b^2的值。
      
    2011-03-06 23:55:01
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